Упр.809 ГДЗ Колягин Ткачёва 10 класс (Алгебра)

Выразить логарифм 120 по основанию 300 через а и b, если а= логарифм 3 по основанию 2, b= логарифм 3

Используем формулу перехода к новому основанию:

$$\log_{300}120=\frac{\log_3 120}{\log_3 300}.$$

Разложим числа на множители:

$$120=3\cdot 40,\qquad 300=3\cdot 100.$$

Тогда

$$\log_{300}120=\frac{\log_3(3\cdot 40)}{\log_3(3\cdot 100)}=\frac{\log_3 3+\log_3 40}{\log_3 3+\log_3 100}.$$

Так как $$a=\log_2 3,$$ $$b=\log_3 5,$$ то

$$\log_3 3=1,$$

$$\log_3 40=\log_3(5\cdot 8)=\log_3 5+\log_3 2^3=b+3\log_3 2,$$

$$\log_3 100=\log_3(25\cdot 4)=2\log_3 5+2\log_3 2=2b+2\log_3 2.$$

Поскольку $$a=\log_2 3,$$ то $$\log_3 2=\frac{1}{\log_2 3}=\frac{1}{a}.$$

Подставим:

$$\log_{300}120=\frac{1+b+\frac{3}{a}}{1+2b+\frac{2}{a}}.$$

Умножим числитель и знаменатель на $$a$$:

$$\log_{300}120=\frac{a+ab+3}{a+2ab+2}=\frac{3+a+ab}{2+a+2ab}.$$

Ответ

$$\frac{3+a+ab}{2+a+2ab}$$