Упр.790 ГДЗ Колягин Ткачёва 10 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Колягин, Ткачёва, Фёдорова 10 класс, Просвещение: Доказать, что при а > 0, a не равно1, х > 0, k не равно 0 справведлива формула логарифм x^k по основанию a^k= логарифм х по основанию а

Пусть $$y=\log_{a^k} x^k.$$ Тогда по определению логарифма

$$\left(a^k\right)^y=x^k.$$

Так как $$x>0$$ и $$k\ne 0$$, можно записать

$$a^{ky}=x^k.$$

Из равенства степеней с одинаковым основанием получаем

$$ky=\log_a x^k.$$

Но $$\log_a x^k=k\log_a x$$, значит

$$ky=k\log_a x.$$

Так как $$k\ne 0$$, делим обе части на $$k$$:

$$y=\log_a x.$$

Следовательно,

$$\log_{a^k} x^k=\log_a x.$$

Ответ

$$\log_{a^k} x^k=\log_a x.$$