Упр.776 ГДЗ Колягин Ткачёва 10 класс (Алгебра)

9^x+9a(1-a)*3^(x-2)-a^3=0

Положим $$t=3^x,$$ тогда $$9^x=3^{2x}=t^2,$$ а $$3^{x-2}=\frac{3^x}{9}=\frac{t}{9}.$$

Получаем квадратное уравнение относительно $$t$$:

$$t^2+9a(1-a)\cdot \frac{t}{9}-a^3=0,$$

то есть

$$t^2+(a-a^2)t-a^3=0.$$

Найдём дискриминант:

$$D=(a-a^2)^2+4a^3=a^2-2a^3+a^4+4a^3=a^2+2a^3+a^4=(a+a^2)^2.$$

Тогда

$$t_{1,2}=\frac{-(a-a^2)\pm (a+a^2)}{2}.$$

Отсюда

$$t_1=\frac{-a+a^2+a+a^2}{2}=a^2,$$

$$t_2=\frac{-a+a^2-a-a^2}{2}=-a.$$

Возвращаясь к переменной $$x,$$ получаем:

$$3^x=a^2 \quad \Rightarrow \quad x=\log_3 a^2,$$

$$3^x=-a \quad \Rightarrow \quad x=\log_3(-a).$$

Учитываем область допустимых значений для логарифмов:

• если $$a>0,$$ то $$-a<0,$$ поэтому подходит только $$x=\log_3 a^2;$$
• если $$a<0$$ и $$a\ne -1,$$ то оба корня допустимы: $$x=\log_3 a^2$$ и $$x=\log_3(-a);$$
• если $$a=-1,$$ то $$a^2=1$$ и $$-a=1,$$ поэтому $$x=0;$$
• если $$a=0,$$ то корней нет.

Ответ

Если $$a<0$$ и $$a\ne -1,$$ то $$x=\log_3 a^2$$ и $$x=\log_3(-a).$$ Если $$a>0,$$ то $$x=\log_3 a^2.$$ Если $$a=-1,$$ то $$x=0.$$ Если $$a=0,$$ корней нет.