Упр.774 ГДЗ Колягин Ткачёва 10 класс (Алгебра)

1) (3^x+2^x)(3^x+3*2^x)=8*6^x
2) (3*5^x+2,5*3^x)(2*3^x-2*5^x)=8*15^x

1. $$\left(3^x+2^x\right)\left(3^x+3\cdot 2^x\right)=8\cdot 6^x.$$

   Раскроем скобки:
   $$3^{2x}+3\cdot 6^x+6^x+3\cdot 2^{2x}=8\cdot 6^x.$$

   $$3^{2x}-4\cdot 6^x+3\cdot 2^{2x}=0.$$

   Разделим на $$2^{2x}$$:
   $$\left(\frac{3}{2}\right)^{2x}-4\left(\frac{3}{2}\right)^x+3=0.$$

   Обозначим $$t=\left(\frac{3}{2}\right)^x$$, тогда $$t>0$$ и получаем:
   $$t^2-4t+3=0.$$

   $$t_1=1,\quad t_2=3.$$

   Тогда
   $$\left(\frac{3}{2}\right)^x=1 \Rightarrow x=0,$$
   $$\left(\frac{3}{2}\right)^x=3 \Rightarrow x=\log_{\frac{3}{2}}3.$$

2. $$\left(3\cdot 5^x+2{,}5\cdot 3^x\right)\left(2\cdot 3^x-2\cdot 5^x\right)=8\cdot 15^x.$$

   Раскроем скобки:
   $$6\cdot 15^x-6\cdot 5^{2x}+5\cdot 3^{2x}-5\cdot 15^x=8\cdot 15^x.$$

   $$5\cdot 3^{2x}-7\cdot 15^x-6\cdot 5^{2x}=0.$$

   Разделим на $$5^{2x}$$:
   $$5\left(\frac{3}{5}\right)^{2x}-7\left(\frac{3}{5}\right)^x-6=0.$$

   Обозначим $$t=\left(\frac{3}{5}\right)^x$$, тогда $$t>0$$ и получаем:
   $$5t^2-7t-6=0.$$

   $$D=49+120=169,$$
   $$t_1=\frac{7-13}{10}=-\frac{3}{5},\quad t_2=\frac{7+13}{10}=2.$$

   Так как $$t>0$$, подходит только $$t=2$$. Тогда
   $$\left(\frac{3}{5}\right)^x=2 \Rightarrow x=\log_{\frac{3}{5}}2=\log_{\frac{5}{3}}\frac12.$$

Ответ

1) $$0;\ \log_{\frac{3}{2}}3$$
2) $$\log_{\frac{5}{3}}\frac12$$