Упр.773 ГДЗ Колягин Ткачёва 10 класс (Алгебра)

1) 7^2x+7^x-12=0
2) 9^x-3^x-12=0
3) 8^(x+1)-8^(2x-1)=30
4) (1/9)^x-5(1/3)^x+6=0

1. $$7^{2x}+7^x-12=0.$$

   Пусть $$t=7^x,$$ тогда $$t>0$$ и получаем:

   $$t^2+t-12=0.$$

   $$D=1+48=49,$$

   $$t_{1,2}=\frac{-1\pm 7}{2}.$$

   $$t_1=-4,\quad t_2=3.$$

   Так как $$t>0,$$ то подходит только $$t=3.$$ Следовательно,

   $$7^x=3,\quad x=\log_7 3.$$

2. $$9^x-3^x-12=0.$$

   Так как $$9^x=3^{2x},$$ положим $$t=3^x,$$ тогда $$t>0$$ и

   $$t^2-t-12=0.$$

   $$D=1+48=49,$$

   $$t_{1,2}=\frac{1\pm 7}{2}.$$

   $$t_1=-3,\quad t_2=4.$$

   Подходит только $$t=4,$$ значит

   $$3^x=4,\quad x=\log_3 4.$$

3. $$8^{x+1}-8^{2x-1}=30.$$

   Преобразуем:

   $$8\cdot 8^x-\frac{8^{2x}}{8}=30.$$

   Умножим на $$8$$:

   $$64\cdot 8^x-8^{2x}=240.$$

   Пусть $$t=8^x,$$ тогда $$t>0$$ и

   $$t^2-64t+240=0.$$

   $$D=64^2-4\cdot 240=3136,$$

   $$t_{1,2}=\frac{64\pm 56}{2}.$$

   $$t_1=4,\quad t_2=60.$$

   Тогда

   $$8^x=4 \Rightarrow x=\log_8 4=\frac{2}{3},$$

   $$8^x=60 \Rightarrow x=\log_8 60.$$

4. $$\left(\frac19\right)^x-5\left(\frac13\right)^x+6=0.$$

   Так как $$\left(\frac19\right)^x=\left(\frac13\right)^{2x},$$ положим $$t=\left(\frac13\right)^x,$$ тогда $$t>0$$ и

   $$t^2-5t+6=0.$$

   $$D=25-24=1,$$

   $$t_{1,2}=\frac{5\pm 1}{2}.$$

   $$t_1=2,\quad t_2=3.$$

   Тогда

   $$\left(\frac13\right)^x=2 \Rightarrow x=\log_{1/3}2,$$

   $$\left(\frac13\right)^x=3 \Rightarrow x=\log_{1/3}3=-1.$$

Ответ

1) $$\log_7 3$$; 2) $$\log_3 4$$; 3) $$\frac23,\ \log_8 60$$; 4) $$-1,\ \log_{1/3}2$$.