Упр.769 ГДЗ Колягин Ткачёва 10 класс (Алгебра)
769.
1) логарифм (49-x^2) по основанию 6
2) логарифм (x^2+х-6) по основанию 7
3) логарифм (x^2+2х+7) по основанию 1/5
4) у=логарифм (7х-2x^2-3) по основанию 0,3
5) у=логарифм ((2х-1)/(х-5)) по основанию 2
6) у=логарифм ((5х+1)/(4-х)) по основанию 1/7
$$\log_6(49-x^2)$$
Чтобы логарифм имел смысл, нужно:
$$49-x^2>0$$
$$x^2-49<0$$
$$ (x-7)(x+7)<0 $$
Отсюда:
$$-7<x<7$$
$$\log_7(x^2+x-6)$$
Требуется:
$$x^2+x-6>0$$
$$ (x+3)(x-2)>0 $$
Следовательно,
$$x<-3 \text{ или } x>2$$
$$\log_{\frac15}(x^2+2x+7)$$
Нужно:
$$x^2+2x+7>0$$
$$D=2^2-4\cdot 1\cdot 7=4-28=-24<0$$
Так как старший коэффициент положительный, то выражение всегда положительно.
Значит, $$x\in \mathbb{R}$$.
$$y=\log_{0{,}3}(7x-2x^2-3)$$
Требуется:
$$7x-2x^2-3>0$$
$$2x^2-7x+3<0$$
$$D=49-24=25$$
$$x_{1,2}=\frac{7\pm 5}{4}$$
$$x_1=\frac12,\quad x_2=3$$
Тогда
$$\frac12<x<3$$
$$\log_2\frac{2x-1}{x-5}$$
Нужно:
$$\frac{2x-1}{x-5}>0$$
Критические точки: $$x=\frac12$$ и $$x=5$$.
Знак дроби положителен при
$$x<\frac12 \text{ или } x>5$$
$$\log_{\frac17}\frac{5x+1}{4-x}$$
Требуется:
$$\frac{5x+1}{4-x}>0$$
$$\frac{5x+1}{x-4}<0$$
Критические точки: $$x=-\frac15$$ и $$x=4$$.
Следовательно,
$$-\frac15<x<4$$
Ответ
1) $$(-7;7)$$; 2) $$(-\infty;-3)\cup(2;+\infty)$$; 3) $$\mathbb{R}$$; 4) $$\left(\frac12;3\right)$$; 5) $$(-\infty;\frac12)\cup(5;+\infty)$$; 6) $$\left(-\frac15;4\right)$$.
