Упр.752 ГДЗ Колягин Ткачёва 10 класс (Алгебра)

2^|x+1|-|2^x-1|=1+2^x

Рассмотрим уравнение

$$2^{|x+1|}-|2^x-1|=1+2^x.$$

Разобьём решение на случаи.

1. Если $$x<-1$$, то $$|x+1|=-(x+1)$$ и $$|2^x-1|=1-2^x$$, так как $$2^x<1$$.

   Тогда

   $$2^{-(x+1)}-(1-2^x)=1+2^x,$$

   $$2^{-x-1}+2^x-1=1+2^x,$$

   $$2^{-x-1}=2,$$

   $$-x-1=1,$$

   $$x=-2.$$

2. Если $$-1\le x<0$$, то $$|x+1|=x+1$$ и $$|2^x-1|=1-2^x$$.

   Получаем

   $$2^{x+1}-(1-2^x)=1+2^x,$$

   $$2^{x+1}+2^x-1=1+2^x,$$

   $$2^{x+1}=2,$$

   $$x+1=1,$$

   $$x=0.$$

   Но $$0\notin[-1;0)$$, значит, в этом промежутке решений нет.

3. Если $$x\ge 0$$, то $$|x+1|=x+1$$ и $$|2^x-1|=2^x-1$$.

   Тогда

   $$2^{x+1}-(2^x-1)=1+2^x,$$

   $$2^{x+1}-2^x+1=1+2^x,$$

   $$2^{x+1}=2\cdot 2^x,$$

   что верно при любом $$x\ge 0$$.

Следовательно, решения уравнения:

$$x=-2 \quad \text{или} \quad x\ge 0.$$

Ответ

$$x\in\{-2\}\cup[0;+\infty).$$