Упр.751 ГДЗ Колягин Ткачёва 10 класс (Алгебра)

(v(2+v3))^x+(v(2-v3))^x=4

Обозначим

$$a=\left(\sqrt{2+\sqrt3}\right)^x,\qquad b=\left(\sqrt{2-\sqrt3}\right)^x.$$

Тогда уравнение принимает вид

$$a+b=4.$$

Найдём произведение:

$$ab=\left(\sqrt{2+\sqrt3}\cdot \sqrt{2-\sqrt3}\right)^x=\left(\sqrt{(2+\sqrt3)(2-\sqrt3)}\right)^x=\left(\sqrt{1}\right)^x=1.$$

Значит, $$b=\frac1a$$, и тогда

$$a+\frac1a=4.$$

Умножим на $$a$$:

$$a^2-4a+1=0.$$

Решим квадратное уравнение:

$$D=16-4=12,$$

$$a=\frac{4\pm\sqrt{12}}{2}=2\pm\sqrt3.$$

Теперь рассмотрим оба случая.

1) Если $$a=2+\sqrt3,$$ то

$$\left(\sqrt{2+\sqrt3}\right)^x=2+\sqrt3=\left(\sqrt{2+\sqrt3}\right)^2,$$

откуда $$x=2.$$

2) Если $$a=2-\sqrt3,$$ то

$$\left(\sqrt{2+\sqrt3}\right)^x=2-\sqrt3.$$

Так как

$$2-\sqrt3=\frac1{2+\sqrt3}=\left(\sqrt{2+\sqrt3}\right)^{-2},$$

получаем $$x=-2.$$

Ответ

$$x=-2;\ 2.$$