Упр.750 ГДЗ Колягин Ткачёва 10 класс (Алгебра)

Найти все значения Ь, при которых уравнение
4^х — (5Ь — 3) *2х + 4b^2 — Зb = 0 имеет единственный корень.

Положим $$t=2^x,$$ тогда $$t>0$$ и уравнение принимает вид

$$t^2-(5b-3)t+4b^2-3b=0.$$

Нужно, чтобы это квадратное уравнение по $$t$$ имело ровно один положительный корень.

Найдём дискриминант:

$$D=(5b-3)^2-4(4b^2-3b)=25b^2-30b+9-16b^2+12b=9b^2-18b+9=9(b-1)^2.$$

Тогда корни:

$$t_{1,2}=\frac{5b-3\pm 3(b-1)}{2}.$$

Получаем

$$t_1=\frac{5b-3-3b+3}{2}=b,$$

$$t_2=\frac{5b-3+3b-3}{2}=4b-3.$$

Чтобы уравнение имело единственный корень по $$x,$$ возможны два случая:

1. квадратное уравнение имеет один двукратный корень: $$D=0,$$ то есть $$9(b-1)^2=0,$$ откуда $$b=1;$$
2. уравнение имеет два корня по $$t,$$ но только один из них положителен. Тогда
   $$b>0,$$
   $$4b-3\le 0,$$
   то есть
   $$0<b\le \frac34.$$

Объединяя случаи, получаем:

$$b\in\left(0;\frac34\right]\cup\{1\}.$$

Ответ

$$b\in\left(0;\frac34\right]\cup\{1\}.$$