Упр.749 ГДЗ Колягин Ткачёва 10 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Колягин, Ткачёва, Фёдорова 10 класс, Просвещение: 749. Решить уравнение 3^x+4^x=(1/5)^x+(1/6)^x

Рассмотрим функции

$$f(x)=3^x+4^x,$$

$$g(x)=\left(\frac15\right)^x+\left(\frac16\right)^x.$$

Функция $$f(x)$$ возрастает на $$\mathbb{R}$$, так как оба слагаемых $$3^x$$ и $$4^x$$ возрастают.

Функция $$g(x)$$ убывает на $$\mathbb{R}$$, так как оба слагаемых $$\left(\frac15\right)^x$$ и $$\left(\frac16\right)^x$$ убывают.

Значит, уравнение

$$3^x+4^x=\left(\frac15\right)^x+\left(\frac16\right)^x$$

может иметь не более одного решения.

Проверим значение $$x=0$$:

$$3^0+4^0=1+1=2,$$

$$\left(\frac15\right)^0+\left(\frac16\right)^0=1+1=2.$$

Следовательно, $$x=0$$ — решение уравнения, и оно единственное.

Ответ

$$0$$