Упр.747 ГДЗ Колягин Ткачёва 10 класс (Алгебра)

1) 3^|x-2| < 9 2) 4^|x+1| > 16
3) 2^|x-2| > 4^|x+1|
4) 5^|x+4| < 25^|x|

1. $$3^{|x-2|}<9=3^2$$
   Так как основание $$3>1$$, то
   $$|x-2|<2.$$ Тогда $$ -2<x-2<2 \\ 0<x<4. $$
2. $$4^{|x+1|}>16=4^2$$
   
   Так как основание $$4>1$$, то
   $$|x+1|>2.$$
   Тогда
   $$ x+1<-2 \quad \text{или} \quad x+1>2, $$
   откуда
   $$ x<-3 \quad \text{или} \quad x>1. $$
3. $$2^{|x-2|}>4^{|x+1|}=(2^2)^{|x+1|}=2^{2|x+1|}$$
   
   Так как основание $$2>1$$, получаем
   $$|x-2|>2|x+1|.$$
   Рассмотрим случаи:
   $$ x-2>2|x+1| \quad \text{или} \quad 2-x>2|x+1|. $$
   Удобнее раскрыть модуль по промежуткам:
   $$ |x-2|>2|x+1| \iff \begin{cases} x>2|x+1|, \\ \text{или} \end{cases} $$
   но проще возвести в квадрат:
   $$ (x-2)^2>4(x+1)^2 $$
   $$ x^2-4x+4>4x^2+8x+4 $$
   $$ 3x^2+12x<0 $$
   $$ x^2+4x<0 $$
   $$ x(x+4)<0. $$
   Отсюда
   $$-4<x<0.$$
4. $$5^{|x+4|}<25^{|x|}=(5^2)^{|x|}=5^{2|x|}$$
   Так как основание $$5>1$$, то
   $$|x+4|<2|x|.$$ Возведём в квадрат: $$ (x+4)^2<4x^2 $$ $$ x^2+8x+16<4x^2 $$ $$ 3x^2-8x-16>0. $$ Найдём корни: $$ D=(-8)^2-4\cdot 3\cdot(-16)=64+192=256, $$ $$ x_{1,2}=\frac{8\pm 16}{6}. $$ Тогда $$ x_1=-\frac{4}{3}, \quad x_2=4. $$ Поскольку ветви параболы направлены вверх, получаем $$ x<-\frac{4}{3} \quad \text{или} \quad x>4. $$

Ответ

1) $$\left(0;4\right)$$
2) $$(-\infty;-3)\cup(1;+\infty)$$
3) $$(-4;0)$$
4) $$(-\infty;-\frac{4}{3})\cup(4;+\infty)$$