Упр.746 ГДЗ Колягин Ткачёва 10 класс (Алгебра)

Задача

1) (0,2^(x+0,5)/v5)=5*0,04^x
2) 4*3^x-9*2^x=5*3^x/2*2^x/2
3) 2*4^x-3*10^x-5*25^x=0
4) 4*9^x+12^x-3*16^x=0

Подробный ответ

$$\frac{0{,}2^{x+0{,}5}}{\sqrt5}=5\cdot 0{,}04^x$$
$$\left(\frac15\right)^{x+0{,}5}\cdot \left(\frac15\right)^{-0{,}5}=5\cdot \left(\frac1{25}\right)^x$$
$$\left(\frac15\right)^{x+1}=\left(\frac15\right)^{2x-1}$$
$$x+1=2x-1,\quad x=2.$$
$$4\cdot 3^x-9\cdot 2^x=5\cdot \frac{3^x}{2^x}$$
Разделим обе части на $$2^x$$:
$$4\left(\frac32\right)^x-9=5\left(\frac32\right)^{-x}.$$
Обозначим $$t=\left(\frac32\right)^{\frac x2}$$, тогда $$t>0$$ и
$$4t^2-5t-9=0.$$
$$D=25+144=169,$$
$$t_{1,2}=\frac{5\pm 13}{8}.$$
$$t_1=-1 \notin \mathbb{R},\qquad t_2=\frac94.$$
Тогда
$$\left(\frac32\right)^{\frac x2}=\frac94=\left(\frac32\right)^2,$$
значит
$$\frac x2=2,\quad x=4.$$
$$2\cdot 4^x-3\cdot 10^x-5\cdot 25^x=0$$
Разделим на $$25^x$$:
$$2\left(\frac{4}{25}\right)^x-3\left(\frac{10}{25}\right)^x-5=0.$$
Так как
$$\frac{4}{25}=\left(\frac25\right)^2,\qquad \frac{10}{25}=\frac25,$$
получаем
$$2\left(\frac25\right)^{2x}-3\left(\frac25\right)^x-5=0.$$
Обозначим $$t=\left(\frac25\right)^x$$, тогда $$t>0$$ и
$$2t^2-3t-5=0.$$
$$D=9+40=49,$$
$$t_{1,2}=\frac{3\pm 7}{4}.$$
$$t_1=-1 \notin \mathbb{R},\qquad t_2=\frac52.$$
Но $$\left(\frac25\right)^x=\frac52$$ невозможно, так как $$\left(\frac25\right)^x>0$$, а при подстановке получаем единственное допустимое значение:
$$\left(\frac25\right)^x=\frac52=\left(\frac25\right)^{-1},\quad x=-1.$$
$$4\cdot 9^x+12^x-3\cdot 16^x=0$$
Разделим на $$16^x$$:
$$4\left(\frac{9}{16}\right)^x+\left(\frac{12}{16}\right)^x-3=0.$$
Так как
$$\frac{9}{16}=\left(\frac34\right)^2,\qquad \frac{12}{16}=\frac34,$$
получаем
$$4\left(\frac34\right)^{2x}+\left(\frac34\right)^x-3=0.$$
Обозначим $$t=\left(\frac34\right)^x$$, тогда $$t>0$$ и
$$4t^2+t-3=0.$$
$$D=1+48=49,$$
$$t_{1,2}=\frac{-1\pm 7}{8}.$$
$$t_1=-1 \notin \mathbb{R},\qquad t_2=\frac34.$$
Тогда
$$\left(\frac34\right)^x=\frac34,$$
значит
$$x=1.$$