Упр.744 ГДЗ Колягин Ткачёва 10 класс (Алгебра)

Задача

1) 2^x > -2 и 2^2x > 4
2) 2^x < v(x+1) и 2^2x > x+1
3) 2^x > v(x+1) и 2^2x > x+1

Подробный ответ

$$2^x>-2,\qquad 2^{2x}>4$$
Так как $$2^x>0$$ при любом $$x\in\mathbb{R}$$, то неравенство $$2^x>-2$$ верно при всех $$x\in\mathbb{R}$$.
Второе неравенство:
$$2^{2x}>4=2^2 \Rightarrow 2x>2 \Rightarrow x>1.$$
Первое неравенство верно при всех $$x$$, а второе — только при $$x>1$$, значит, неравенства неравносильны.
$$2^x<\sqrt{x+1},\qquad 2^{2x}<x+1$$
Область определения: $$x+1\ge 0,$$ то есть $$x\ge -1.$$
Так как обе части неотрицательны, можно возвести первое неравенство в квадрат:
$$2^x<\sqrt{x+1}\Rightarrow 2^{2x}<x+1.$$
Получаем то же самое неравенство, значит, они равносильны.
$$2^x>\sqrt{x+1},\qquad 2^{2x}>x+1$$
Область определения: $$x+1\ge 0,$$ то есть $$x\ge -1.$$
Если $$2^x>\sqrt{x+1},$$ то обе части неотрицательны, и после возведения в квадрат получаем:
$$2^{2x}>x+1.$$
Обратно, из $$2^{2x}>x+1$$ не всегда следует $$2^x>\sqrt{x+1}$$, так как при возведении в квадрат теряется информация о знаке сравниваемых величин. Поэтому неравенства неравносильны.