Упр.742 ГДЗ Колягин Ткачёва 10 класс (Алгебра)

Задача

1) 8,4^((x-3)/(x^2+1)) < 1 2) 2^(x^2)*5^(x^2) < 10^-3(10^(3-x))^2 3) (4^x-2^(x+1)+8)/(2^(1-x)) < 8^x 4) 1/(3^x+5) < =1/(3^(x+1)-1)

Подробный ответ

$$8{,}4^{\frac{x-3}{x^2+1}}<1.$$
Так как $$8{,}4>1,$$ то неравенство равносильно
$$\frac{x-3}{x^2+1}<0.$$
Поскольку $$x^2+1>0$$ при любом $$x,$$ получаем
$$x-3<0,$$
откуда
$$x<3.$$
$$2^{x^2}\cdot 5^{x^2}<10^{-3}(10^{3-x})^2.$$
Преобразуем обе части:
$$10^{x^2}<10^{-3}\cdot 10^{6-2x}=10^{3-2x}.$$
Так как основание $$10>1,$$ то
$$x^2<3-2x.$$
Перенесём всё в одну сторону:
$$x^2+2x-3<0.$$
Разложим на множители:
$$\left(x+3\right)\left(x-1\right)<0.$$
Отсюда
$$-3<x<1.$$
$$\frac{4^x-2^{x+1}+8}{2^{1-x}}<8^x.$$
Так как $$2^{1-x}>0,$$ умножим обе части на $$2^{1-x}:$$
$$4^x-2^{x+1}+8<8^x\cdot 2^{1-x}.$$
Переходим к основанию $$2:$$
$$2^{2x}-2\cdot 2^x+8<2^{3x}\cdot 2^{1-x}=2\cdot 2^{2x}.$$
Тогда
$$2^{2x}-2\cdot 2^x+8-2\cdot 2^{2x}<0,$$
$$2^{2x}-2\cdot 2^x-8>0.$$
Обозначим $$t=2^x,$$ тогда $$t>0$$ и
$$t^2-2t-8>0,$$
$$\left(t-4\right)\left(t+2\right)>0.$$
С учётом $$t>0$$ получаем $$t>4,$$ то есть
$$2^x>4=2^2,$$
следовательно,
$$x>2.$$
$$\frac{1}{3^x+5}\le \frac{1}{3^{x+1}-1}.$$
Область определения:
$$3^x+5>0,$$
$$3^{x+1}-1>0.$$
Так как $$3^x+5>0$$ при любом $$x,$$ достаточно условия
$$3^{x+1}>1,$$
откуда
$$x>-1.$$
На области определения обе дроби положительны, поэтому
$$\frac{1}{3^x+5}\le \frac{1}{3^{x+1}-1}\iff 3^{x+1}-1\le 3^x+5.$$
Тогда
$$3^{x+1}-3^x\le 6,$$
$$3^x\left(3-1\right)\le 6,$$
$$2\cdot 3^x\le 6,$$
$$3^x\le 3,$$
$$x\le 1.$$
С учётом ОДЗ:
$$-1<x\le 1.$$