Упр.740 ГДЗ Колягин Ткачёва 10 класс (Алгебра)

Задача

1) 2*3^(3x-1)+27^(x-2/3)=9^(x-1)+2*3^(2x-1)
2) 2^(vx+2)-2^(vx+1)=12+2^(vx-1)
3) 22**9^(x-1)-1/3*3^(x+3)+1/3*3^(x+2)=4
4) 5*4^(x-1)-16^x+0.25*2^(2x+2)+7=0

Подробный ответ

$$2\cdot 3^{3x-1}+27^{x-\frac23}=9^{x-1}+2\cdot 3^{2x-1}.$$
Преобразуем всё к основанию $3$:
$$2\cdot 3^{3x}\cdot \frac13+3^{3x-\frac23}=3^{2x-2}+2\cdot 3^{2x}\cdot \frac13.$$
Тогда
$$\frac23\cdot 3^{3x}+3^{3x-2}=3^{2x-2}+\frac23\cdot 3^{2x}.$$
Вынесем общие множители:
$$3^{3x}\left(\frac23+3^{-2}\right)=3^{2x}\left(3^{-2}+\frac23\right).$$
Отсюда
$$3^{3x}=3^{2x}, \quad 3x=2x, \quad x=0.$$
$$2^{\sqrt{x}+2}-2^{\sqrt{x}+1}=12+2^{\sqrt{x}-1}.$$
Перенесём слагаемые с показательной функцией влево:
$$2^{\sqrt{x}+2}-2^{\sqrt{x}+1}-2^{\sqrt{x}-1}=12.$$
Вынесем $2^{\sqrt{x}}$:
$$2^{\sqrt{x}}\left(2^2-2^1-2^{-1}\right)=12.$$
Тогда
$$2^{\sqrt{x}}\left(4-2-\frac12\right)=12,$$
$$2^{\sqrt{x}}\cdot \frac32=12,$$
$$2^{\sqrt{x}}=8=2^3.$$
Значит,
$$\sqrt{x}=3,\quad x=9.$$
$$22\cdot 9^{x-1}-\frac13\cdot 3^{x+3}+\frac13\cdot 3^{x+2}=4.$$
Умножим уравнение на $9$:
$$22\cdot 9^x-\frac13\cdot 3^{x+3}\cdot 9+\frac13\cdot 3^{x+2}\cdot 9=36.$$
Так как $9=3^2$, получаем
$$22\cdot 3^{2x}-81\cdot 3^x+27\cdot 3^x=36.$$
Тогда
$$22\cdot 3^{2x}-54\cdot 3^x-36=0.$$
Обозначим $t=3^x$, $t>0$. Имеем:
$$22t^2-54t-36=0.$$
Найдём корни:
$$D=54^2+4\cdot 22\cdot 36=6084,$$
$$t_{1,2}=\frac{54\pm 78}{44}.$$
Отсюда
$$t_1=-\frac{6}{11},\quad t_2=3.$$
Так как $t>0$, подходит только $t=3$:
$$3^x=3,\quad x=1.$$
$$5\cdot 4^{x-1}-16^x+0{,}25\cdot 2^{2x+2}+7=0.$$
Преобразуем:
$$5\cdot 4^x\cdot \frac14-4^{2x}+\frac14\cdot 2^{2x}\cdot 2^2+7=0.$$
Так как $2^{2x}=4^x$, получаем
$$\frac54\cdot 4^x-4^{2x}+4^x+7=0.$$
Умножим на $4$:
$$5\cdot 4^x-4\cdot 4^{2x}+4\cdot 4^x+28=0,$$
$$4\cdot 4^{2x}-9\cdot 4^x-28=0.$$
Обозначим $t=4^x$, $t>0$. Тогда
$$4t^2-9t-28=0.$$
Найдём корни:
$$D=9^2+4\cdot 4\cdot 28=529,$$
$$t_{1,2}=\frac{9\pm 23}{8}.$$
Получаем
$$t_1=-\frac74,\quad t_2=4.$$
Так как $t>0$, подходит $t=4$:
$$4^x=4,\quad x=1.$$