Упр.739 ГДЗ Колягин Ткачёва 10 класс (Алгебра)

Задача

739.
1) 0,6^x*(25/9)^(x^2-12) = (27/125)^3
2) 168v(0.25^(5-x/4))=2^(v(x+1))

Подробный ответ

1) Преобразуем основания к виду $$\frac{3}{5}$$:

$$ 0{,}6^x\cdot \left(\frac{25}{9}\right)^{x^2-12}=\left(\frac{27}{125}\right)^3 $$
$$ \left(\frac{3}{5}\right)^x\cdot \left(\frac{5}{3}\right)^{2(x^2-12)}=\left(\frac{3}{5}\right)^9 $$
$$ \left(\frac{3}{5}\right)^x\cdot \left(\frac{3}{5}\right)^{-2(x^2-12)}=\left(\frac{3}{5}\right)^9 $$
$$ \left(\frac{3}{5}\right)^{x-2(x^2-12)}=\left(\frac{3}{5}\right)^9 $$
$$ x-2(x^2-12)=9 $$
$$ 2x^2-x-15=0 $$
$$ D=1+120=121 $$
$$ x_{1,2}=\frac{1\pm 11}{4} $$
$$ x_1=-\frac{5}{2},\quad x_2=3 $$

2) Запишем всё в виде степеней двойки:

$$ 16\sqrt{0{,}25^{\,5-\frac{x}{4}}}=2^{\sqrt{x+1}} $$
$$ 2^4\cdot \left(\frac14\right)^{\frac12\left(5-\frac{x}{4}\right)}=2^{\sqrt{x+1}} $$
$$ 2^4\cdot 2^{-2\cdot \frac{5-\frac{x}{4}}{2}}=2^{\sqrt{x+1}} $$
$$ 2^{4+\frac{x}{4}-5}=2^{\sqrt{x+1}} $$
$$ \frac{x}{4}-1=\sqrt{x+1} $$
$$ x-4=4\sqrt{x+1} $$
$$ (x-4)^2=16(x+1) $$
$$ x^2-8x+16=16x+16 $$
$$ x^2-24x=0 $$
$$ x(x-24)=0 $$
$$ x=0 \text{ или } x=24 $$

Проверим область определения и найденные корни:

$$ x+1\ge 0,\quad x\ge -1 $$
$$ x-4\ge 0,\quad x\ge 4 $$

Подходит только $$x=24$$.