Упр.735 ГДЗ Колягин Ткачёва 10 класс (Алгебра)

1) 5^x=3^x и (1/3)^x=3^x
2) 7^x=1 и x^2=0
3) 4^x=2 и x^2=1/4
4) (1/3)^x=9 и корень х степени из 1/4 = 16

1. $$5^x=3^x$$

   Разделим обе части на $$3^x$$:

   $$\left(\frac{5}{3}\right)^x=1$$

   Отсюда $$x=0$$.

   Второе уравнение:

   $$\left(\frac13\right)^x=3^x$$

   Так как $$\left(\frac13\right)^x=3^{-x}$$, получаем:

   $$3^{-x}=3^x$$

   $$-x=x$$

   $$x=0$$

   Оба уравнения имеют одно и то же решение, значит, они равносильны.

2. $$7^x=1$$

   Так как $$7^0=1$$, то $$x=0$$.

   Второе уравнение:

   $$x^2=0$$

   Отсюда $$x=0$$.

   Оба уравнения имеют одно и то же решение, значит, они равносильны.

3. $$4^x=2$$

   Представим $$4$$ как $$2^2$$:

   $$2^{2x}=2^1$$

   $$2x=1$$

   $$x=\frac12$$

   Второе уравнение:

   $$x^2=\frac14$$

   $$x=\pm\frac12$$

   Множества решений различны, значит, уравнения не равносильны.

4. $$\left(\frac13\right)^x=9$$

   Представим правую часть как степень тройки:

   $$3^{-x}=3^2$$

   $$-x=2$$

   $$x=-2$$

   Второе уравнение:

   $$\sqrt[x]{\frac14}=16$$

   Запишем в показательной форме:

   $$\left(\frac14\right)^{\frac1x}=16$$

   $$\left(2^{-2}\right)^{\frac1x}=2^4$$

   $$2^{-\frac{2}{x}}=2^4$$

   $$-\frac{2}{x}=4$$

   $$x=-\frac12$$

   Множества решений различны, значит, уравнения не равносильны.

Ответ

1) да; 2) да; 3) нет; 4) нет.