Упр.732 ГДЗ Колягин Ткачёва 10 класс (Алгебра)

1) 5^2x-5^x-600=0
2) 9^x-3^x-6=0
3) 3^x+9^(x-1)-810=0
4) 4^x+2^(x+1)-80=0

1. $$5^{2x}-5^x-600=0.$$

   Пусть $$t=5^x$$, тогда $$t>0$$ и получаем:

   $$t^2-t-600=0.$$

   $$D=1+2400=2401,$$

   $$t_{1,2}=\frac{1\pm 49}{2}.$$

   $$t_1=-24,\quad t_2=25.$$

   Так как $$t>0$$, то $$t=25$$, значит

   $$5^x=25=5^2,\quad x=2.$$

2. $$9^x-3^x-6=0.$$

   Пусть $$t=3^x$$, тогда $$t>0$$ и

   $$9^x=(3^x)^2=t^2.$$

   Получаем:

   $$t^2-t-6=0.$$

   $$D=1+24=25,$$

   $$t_{1,2}=\frac{1\pm 5}{2}.$$

   $$t_1=-2,\quad t_2=3.$$

   С учётом $$t>0$$ имеем $$t=3$$, значит

   $$3^x=3=3^1,\quad x=1.$$

3. $$3^x+9^{x-1}-810=0.$$

   Преобразуем:

   $$9^{x-1}=\frac{9^x}{9}=\frac{3^{2x}}{9}.$$

   Умножим уравнение на $$9$$:

   $$9\cdot 3^x+3^{2x}-7290=0.$$

   Пусть $$t=3^x$$, тогда $$t>0$$ и

   $$t^2+9t-7290=0.$$

   $$D=9^2+4\cdot 7290=29241,$$

   $$t_{1,2}=\frac{-9\pm 171}{2}.$$

   $$t_1=-90,\quad t_2=81.$$

   С учётом $$t>0$$ получаем $$t=81$$, значит

   $$3^x=81=3^4,\quad x=4.$$

4. $$4^x+2^{x+1}-80=0.$$

   Преобразуем к основанию $$2$$:

   $$2^{2x}+2\cdot 2^x-80=0.$$

   Пусть $$t=2^x$$, тогда $$t>0$$ и

   $$t^2+2t-80=0.$$

   $$D=4+320=324,$$

   $$t_{1,2}=\frac{-2\pm 18}{2}.$$

   $$t_1=-10,\quad t_2=8.$$

   С учётом $$t>0$$ имеем $$t=8$$, значит

   $$2^x=8=2^3,\quad x=3.$$

Ответ

1) $$2$$; 2) $$1$$; 3) $$4$$; 4) $$3$$.