Упр.725 ГДЗ Колягин Ткачёва 10 класс (Алгебра)

Задача

Найти все значения параметра а, при которых система
3*2^|x|+5|x|+4=3y+5x^2+3a
x^2+y^2=1
имеет единственное решение.

Подробный ответ

Рассмотрим систему

$$ \begin{cases} 3\cdot 2^{|x|}+5|x|+4=3y+5x^2+3a,\\ x^2+y^2=1. \end{cases} $$

Так как в первом уравнении выражение зависит от $$|x|$$ и $$x^2$$, а во втором уравнении стоит окружность $$x^2+y^2=1$$, удобно проверить точки, в которых система может иметь единственное решение.

Пусть $$x=0$$. Тогда из второго уравнения получаем

$$ 0^2+y^2=1 \Rightarrow y=\pm 1. $$

Подставим в первое уравнение:

$$ 3\cdot 2^{|0|}+5|0|+4=3y+5\cdot 0^2+3a, $$

$$ 3\cdot 1+0+4=3y+3a, $$

$$ 7=3y+3a. $$

При $$y=1$$:

$$ 7=3+3a \Rightarrow 3a=4 \Rightarrow a=\frac{4}{3}. $$

При $$y=-1$$:

$$ 7=-3+3a \Rightarrow 3a=10 \Rightarrow a=\frac{10}{3}. $$

Проверим, при каком из этих значений система действительно имеет единственное решение. Если $$a=\frac{10}{3}$$, то из первого уравнения получаются две точки пересечения с окружностью, а при $$a=\frac{4}{3}$$ получается единственная точка $$\left(0,1\right)$$.

Следовательно, система имеет единственное решение при

$$ a=\frac{4}{3}. $$