Упр.724 ГДЗ Колягин Ткачёва 10 класс (Алгебра)

1) (5^x)^y=5^21
5^x*5^y=5^10
3^x > 3^y
2) (0,2^y)^x=0,008
(0,4)^y=0,4^(3,5-x)
2^x*0,5^y < 1

1. Из первого уравнения

   $$\left(5^x\right)^y=5^{21}$$

   получаем

   $$5^{xy}=5^{21}, \quad xy=21.$$

   Из второго уравнения

   $$5^x\cdot 5^y=5^{10}$$

   следует

   $$5^{x+y}=5^{10}, \quad x+y=10.$$

   Из неравенства

   $$3^x>3^y$$

   так как основание больше 1, имеем

   $$x>y.$$

   Решим систему

   $$ \begin{cases} x+y=10,\\ xy=21. \end{cases} $$

   Пусть $$y=10-x$$. Тогда

   $$x(10-x)=21,$$

   $$x^2-10x+21=0,$$

   $$D=100-84=16,$$

   $$x_{1,2}=\frac{10\pm 4}{2}.$$

   Получаем $$x=3$$ или $$x=7$$. Тогда пары: $$(3;7)$$ и $$(7;3).$$

   Так как $$x>y,$$ подходит только пара $$(7;3).$$

2. Из первого уравнения

   $$\left(0{,}2^y\right)^x=0{,}008$$

   получаем

   $$0{,}2^{xy}=0{,}2^3,\quad xy=3.$$

   Из второго уравнения

   $$0{,}4^y=0{,}4^{3{,}5-x}$$

   следует

   $$y=3{,}5-x.$$

   Из неравенства

   $$2^x\cdot 0{,}5^y<1$$

   имеем

   $$2^x\cdot 2^{-y}<1,$$

   $$2^{x-y}<2^0,$$

   $$x-y<0,\quad x<y.$$

   Решим систему

   $$ \begin{cases} xy=3,\\ y=3{,}5-x. \end{cases} $$

   Подставим:

   $$x(3{,}5-x)=3,$$

   $$x^2-3{,}5x+3=0,$$

   $$2x^2-7x+6=0,$$

   $$D=49-48=1,$$

   $$x_{1,2}=\frac{7\pm 1}{4}.$$

   Тогда $$x=1{,}5$$ или $$x=2$$. Соответственно, $$y=2$$ или $$y=1{,}5$$.

   С учётом условия $$x<y$$ подходит пара $$(1{,}5;2).$$

Ответ

1) $$(7;3)$$

2) $$(1{,}5;2)$$