Упр.723 ГДЗ Колягин Ткачёва 10 класс (Алгебра)

1) 2^(x+1) > 1
0,6^(x^2-2)=(1 2/3)^x
2) 10^5x=0,1^(2x^2-3)
3^(4x-1) < =1

1. $$2^{x+1}>1$$

   Так как основание $$2>1$$, то неравенство равносильно

   $$x+1>0,$$

   откуда

   $$x>-1.$$

   Теперь решим уравнение

   $$0{,}6^{x^2-2}=\left(1\frac{2}{3}\right)^x.$$

   Преобразуем основания:

   $$0{,}6=\frac{3}{5}, \qquad 1\frac{2}{3}=\frac{5}{3}.$$

   Тогда

   $$\left(\frac{3}{5}\right)^{x^2-2}=\left(\frac{5}{3}\right)^x=\left(\frac{3}{5}\right)^{-x}.$$

   Следовательно,

   $$x^2-2=-x,$$

   $$x^2+x-2=0,$$

   $$\left(x+2\right)\left(x-1\right)=0.$$

   Отсюда

   $$x=-2 \text{ или } x=1.$$

   С учётом условия $$x>-1$$ подходит только $$x=1$$.

2. $$10^{5x}=0{,}1^{\,2x^2-3}$$

   и

   $$3^{4x-1}\le 1.$$

   Так как основание $$3>1$$, то

   $$4x-1\le 0,$$

   $$x\le \frac14.$$

   Преобразуем уравнение:

   $$0{,}1=10^{-1},$$

   поэтому

   $$10^{5x}=10^{-(2x^2-3)}=10^{3-2x^2}.$$

   Тогда

   $$5x=3-2x^2,$$

   $$2x^2+5x-3=0.$$

   Решаем квадратное уравнение:

   $$D=5^2-4\cdot 2\cdot(-3)=25+24=49,$$

   $$x=\frac{-5\pm 7}{4}.$$

   Получаем

   $$x_1=\frac12,\qquad x_2=-3.$$

   С учётом условия $$x\le \frac14$$ подходит только $$x=-3$$.

Ответ

1) $$x=1$$; 2) $$x=-3$$.