Упр.720 ГДЗ Колягин Ткачёва 10 класс (Алгебра)

Задача

1) 5^x-5^y=100
5^(x-1)+5^(y-1)=30
2) 2^x-9*3^y=7
2^x*3^y=8/9
3) 16^y-16^x=24
16^(x+y)=256
4) 3^x+2^(x+y+1)=5
3^(x+1)-2(x+y)=1

Подробный ответ

Пусть $$u=5^x$$, $$z=5^y$$. Тогда система принимает вид
$$ \begin{cases} u-z=100,\\ \dfrac{u}{5}+\dfrac{z}{5}=30. \end{cases} $$
Из первого уравнения $$u=100+z$$. Подставим во второе:
$$ \dfrac{100+z}{5}+\dfrac{z}{5}=30 $$
$$ 100+2z=150 $$
$$ 2z=50,\quad z=25 $$
Тогда $$u=100+25=125$$. Значит,
$$5^x=125=5^3,\quad 5^y=25=5^2.$$
Следовательно, $$x=3$$, $$y=2$$.
Пусть $$u=2^x$$, $$z=3^y$$. Тогда
$$ \begin{cases} u-9z=7,\\ uz=\dfrac{8}{9}. \end{cases} $$
Из второго уравнения $$z=\dfrac{8}{9u}$$. Подставим в первое:
$$ u-9\cdot \dfrac{8}{9u}=7 $$
$$ u-\dfrac{8}{u}=7 $$
$$ u^2-7u-8=0 $$
$$ D=49+32=81 $$
$$ u_1=\dfrac{7-9}{2}=-1,\quad u_2=\dfrac{7+9}{2}=8 $$
Так как $$u=2^x>0$$, то $$u=8$$. Тогда
$$ 2^x=8=2^3,\quad z=\dfrac{8}{9\cdot 8}=\dfrac{1}{9}=3^{-2}. $$
Следовательно, $$x=3$$, $$y=-2$$.
Пусть $$u=16^x$$, $$z=16^y$$. Тогда
$$ \begin{cases} z-u=24,\\ uz=256. \end{cases} $$
Из первого уравнения $$z=24+u$$. Подставим во второе:
$$ u(24+u)=256 $$
$$ u^2+24u-256=0 $$
$$ D=24^2+4\cdot 256=1600 $$
$$ u_1=\dfrac{-24-40}{2}=-32,\quad u_2=\dfrac{-24+40}{2}=8 $$
Так как $$u=16^x>0$$, то $$u=8$$. Тогда
$$ 16^x=8=2^3,\quad 16^y=32=2^5 $$
$$ 2^{4x}=2^3,\quad 2^{4y}=2^5 $$
Отсюда
$$ x=\dfrac{3}{4},\quad y=\dfrac{5}{4}. $$
Пусть $$u=3^x$$, $$z=2^{x+y}$$. Тогда
$$ \begin{cases} u+2z=5,\\ 3u-z=1. \end{cases} $$
Из второго уравнения $$z=3u-1$$. Подставим в первое:
$$ u+2(3u-1)=5 $$
$$ 7u=7,\quad u=1 $$
Тогда $$z=3\cdot 1-1=2$$. Значит,
$$ 3^x=1 \Rightarrow x=0, $$
$$ 2^{x+y}=2 \Rightarrow x+y=1. $$
При $$x=0$$ получаем $$y=1$$.