Упр.716 ГДЗ Колягин Ткачёва 10 класс (Алгебра)

(x^2-x+1)^(x^2-5/2x+1) < 1

Рассмотрим неравенство

$$\left(x^2-x+1\right)^{x^2-\frac52x+1}<1.$$

Так как $$x^2-x+1>1$$ при всех $$x$$, то для выполнения неравенства нужно, чтобы показатель степени был отрицательным:

$$x^2-\frac52x+1<0.$$

Умножим на $$2$$:

$$2x^2-5x+2<0.$$

Найдём корни квадратного трёхчлена:

$$D=25-16=9,$$

$$x_{1,2}=\frac{5\pm 3}{4},$$

откуда

$$x_1=\frac12,\quad x_2=2.$$

Так как коэффициент при $$x^2$$ положительный, то

$$2x^2-5x+2<0$$

при

$$\frac12<x<2.$$

Но при $$0<x<1$$ основание $$x^2-x+1$$ больше 1, а при $$x<0$$ или $$x>1$$ оно также больше 1, поэтому для исходного неравенства остаются только промежутки, где показатель отрицателен и основание больше 1. В итоге получаем:

$$x\in\left(0;\frac12\right)\cup(1;2).$$

Ответ

$$\left(0;\frac12\right)\cup(1;2).$$