Упр.715 ГДЗ Колягин Ткачёва 10 класс (Алгебра)

$$\left(2{,}5\right)^{(x+1)^2}\cdot\left(0{,}4\right)^{4|x-1|}\ge\left(\frac{25}{4}\right)^{6{,}5}$$

Преобразуем неравенство:

$$(2{,}5)^{(x+1)^2}\cdot (0{,}4)^{4|x-1|}\ge \left(\frac{25}{4}\right)^{6{,}5}$$

$$\left(\frac52\right)^{(x+1)^2}\cdot \left(\frac25\right)^{4|x-1|}\ge \left(\frac52\right)^{13}$$

Так как $$\frac25=\left(\frac52\right)^{-1},$$ получаем:

$$\left(\frac52\right)^{(x+1)^2-4|x-1|}\ge \left(\frac52\right)^{13}$$

Основание $$\frac52>1,$$ значит сравниваем показатели:

$$(x+1)^2-4|x-1|\ge 13$$

Рассмотрим два случая.

1) Если $$x\ge 1,$$ то $$|x-1|=x-1.$$ Тогда

$$(x+1)^2-4(x-1)\ge 13$$

$$x^2+2x+1-4x+4\ge 13$$

$$x^2-2x-8\ge 0$$

$$(x-4)(x+2)\ge 0$$

Отсюда $$x\le -2$$ или $$x\ge 4.$$ С учётом условия $$x\ge 1$$ получаем $$x\ge 4.$$

2) Если $$x<1,$$ то $$|x-1|=1-x.$$ Тогда

$$(x+1)^2-4(1-x)\ge 13$$

$$x^2+2x+1-4+4x\ge 13$$

$$x^2+6x-16\ge 0$$

$$(x+8)(x-2)\ge 0$$

Отсюда $$x\le -8$$ или $$x\ge 2.$$ С учётом условия $$x<1$$ остаётся $$x\le -8.$$

Объединяем решения:

$$x\in (-\infty;\,-8]\cup [4;\,+\infty)$$

Ответ

$$(-\infty;\,-8]\cup [4;\,+\infty)$$