Упр.715 ГДЗ Колягин Ткачёва 10 класс (Алгебра)

(2,5)^(x+1)^2*(0,4)^4|x-1| > =(25/4)^6,5

Преобразуем неравенство:

$$ (2{,}5)^{(x+1)^2}\cdot (0{,}4)^{4|x-1|}\ge \left(\frac{25}{4}\right)^{6{,}5} $$

$$ \left(\frac52\right)^{(x+1)^2}\cdot \left(\frac25\right)^{4|x-1|}\ge \left(\frac52\right)^{13} $$

Так как $$\frac25=\left(\frac52\right)^{-1},$$ получаем:

$$ \left(\frac52\right)^{(x+1)^2-4|x-1|}\ge \left(\frac52\right)^{13} $$

Основание $$\frac52>1,$$ значит сравниваем показатели:

$$ (x+1)^2-4|x-1|\ge 13 $$

Рассмотрим два случая.

1) Если $$x\ge 1,$$ то $$|x-1|=x-1.$$ Тогда

$$ (x+1)^2-4(x-1)\ge 13 $$

$$ x^2+2x+1-4x+4\ge 13 $$

$$ x^2-2x-8\ge 0 $$

$$ (x-4)(x+2)\ge 0 $$

Отсюда $$x\le -2$$ или $$x\ge 4.$$ С учётом условия $$x\ge 1$$ получаем $$x\ge 4.$$

2) Если $$x<1,$$ то $$|x-1|=1-x.$$ Тогда

$$ (x+1)^2-4(1-x)\ge 13 $$

$$ x^2+2x+1-4+4x\ge 13 $$

$$ x^2+6x-16\ge 0 $$

$$ (x+8)(x-2)\ge 0 $$

Отсюда $$x\le -8$$ или $$x\ge 2.$$ С учётом условия $$x<1$$ остаётся $$x\le -8.$$

Объединяем решения:

$$ x\in (-\infty;\,-8]\cup [4;\,+\infty) $$

Ответ

$$ (-\infty;\,-8]\cup [4;\,+\infty) $$