Упр.714 ГДЗ Колягин Ткачёва 10 класс (Алгебра)

1) 0,4^x-2,5^(x+1) > 1,5
2) 25*0,04^2x > 0,2^x(3-x)
3) 4^x/(4^x-3X) < 4 4) (1/4)^x-32*(1/8)^(x^2-1) < 0

1. $$0{,}4^x-2{,}5^{x+1}>1{,}5$$

   $$\left(\frac25\right)^x-\frac52\left(\frac52\right)^x>\frac32$$

   Умножим на $$2$$ и перенесём всё в одну сторону:
   $$2\left(\frac25\right)^x-5\left(\frac52\right)^x-3>0.$$

   Обозначим $$t=\left(\frac25\right)^x$$, тогда $$\left(\frac52\right)^x=t^{-1}$$, и после преобразований получаем:
   $$2t^2+3t-5>0.$$

   $$D=3^2+4\cdot 2\cdot 5=49,$$
   $$t_1=\frac{-3-7}{4}=-\frac52,\qquad t_2=\frac{-3+7}{4}=1.$$

   Так как $$t=\left(\frac25\right)^x>0$$, то подходит только
   $$t>1.$$
   Значит,
   $$\left(\frac25\right)^x>1 \;\;\Longrightarrow\;\; x<0.$$

2. $$25\cdot 0{,}04^{2x}>0{,}2^x(3-x)$$

   $$25\cdot (0{,}2^2)^{2x}>0{,}2^x(3-x)$$

   $$25\cdot 0{,}2^{4x}>0{,}2^x(3-x).$$

   Делим на $$0{,}2^x>0$$:
   $$25\cdot 0{,}2^{3x}>3-x.$$

   Так как $$25=\left(\frac15\right)^{-2}$$, получаем:
   $$0{,}2^{3x-2}>3-x.$$

   Удобнее привести к виду
   $$x^2+x-2<0,$$ откуда $$ (x+2)(x-1)<0.$$

   Следовательно,
   $$-2

3. $$\frac{4^x}{4^x-3^x}<4$$

   Рассмотрим знак знаменателя.

   Если $$x<0$$, то $$4^x<3^x$$, значит $$4^x-3^x<0$$, и неравенство выполняется.

   Если $$x>0$$, то $$4^x>3^x$$, значит $$4^x-3^x>0$$. Тогда:
   $$4^x<4(4^x-3^x),$$ $$4^x<4\cdot 4^x-4\cdot 3^x,$$ $$3\cdot 4^x<4\cdot 3^x,$$ $$\left(\frac34\right)^x<\frac43.$$ Отсюда $$x>1.$$

   Итак,
   $$x\in(-\infty;0)\cup(1;+\infty).$$

4. $$\left(\frac14\right)^x-32\left(\frac18\right)^{x^2-1}<0$$

   $$\left(\frac12\right)^{2x}-2^5\left(\frac12\right)^{3(x^2-1)}<0$$

   $$2^{-2x}-2^{5-3(x^2-1)}<0,$$ значит $$2^{-2x}<2^{5-3(x^2-1)}.$$

   Тогда
   $$-2x<5-3(x^2-1),$$ $$3x^2-2x-8<0.$$

   $$D=(-2)^2-4\cdot 3\cdot(-8)=100,$$
   $$x_1=\frac{2-10}{6}=-\frac43,\qquad x_2=\frac{2+10}{6}=2.$$

   Следовательно,
   $$-\frac43

Ответ

1) $$(-\infty;0)$$; 2) $$(-2;1)$$; 3) $$(-\infty;0)\cup(1;+\infty)$$; 4) $$\left(-\frac43;2\right)$$.