Упр.710 ГДЗ Колягин Ткачёва 10 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Колягин, Ткачёва, Фёдорова 10 класс, Просвещение: 710. При каких значениях х значения функции y=(1/4)^x больше значений функции y=(1/2)^x+12?

Решим неравенство:

$$\left(\frac14\right)^x>\left(\frac12\right)^x+12.$$

Преобразуем левую часть:

$$\left(\frac14\right)^x=\left(\left(\frac12\right)^2\right)^x=\left(\frac12\right)^{2x}.$$

Обозначим $$t=\left(\frac12\right)^x,$$ тогда $$t>0$$ и неравенство принимает вид

$$t^2>t+12.$$

Перенесём всё в одну сторону:

$$t^2-t-12>0.$$

Разложим на множители:

$$t^2-t-12=(t-4)(t+3).$$

Тогда

$$ (t-4)(t+3)>0.$$

Так как $$t>0,$$ то $$t+3>0,$$ значит, нужно, чтобы

$$t-4>0,$$

то есть

$$t>4.$$

Возвращаемся к переменной $$x$$:

$$\left(\frac12\right)^x>4=\left(\frac12\right)^{-2}.$$

Так как основание $$\frac12<1,$$ получаем

$$x<-2.$$

Ответ

$$(-\infty;\,-2).$$