Упр.708 ГДЗ Колягин Ткачёва 10 класс (Алгебра)

1) 9^x-3^x-6 > 6
2) 4^x-2^x < 12 3) 5^(2x+1)+4*5^x-1 > 0
4) 3*9^x+11*3^x < 4

1. $$9^x-3^x-6>0$$

   Положим $$t=3^x$$, тогда $$t>0$$ и $$9^x=3^{2x}=t^2$$. Получаем:

   $$t^2-t-6>0$$

   $$\left(t-3\right)\left(t+2\right)>0$$

   Так как $$t>0$$, то подходит только $$t>3$$, то есть $$3^x>3$$, откуда $$x>1$$.

   На отрезке $$[-3;3]$$ целые решения: $$x=2,3$$.

2. $$4^x-2^x<12$$

   Положим $$t=2^x$$, тогда $$t>0$$ и $$4^x=2^{2x}=t^2$$. Получаем:

   $$t^2-t-12<0$$

   $$\left(t-4\right)\left(t+3\right)<0$$

   С учётом $$t>0$$ имеем $$0<t<4$$, то есть $$2^x<4=2^2$$, значит $$x<2$$.

   На отрезке $$[-3;3]$$ целые решения: $$x=-3,-2,-1,0,1$$.

3. $$5^{2x+1}+4\cdot 5^x-1>0$$

   Положим $$t=5^x$$, тогда $$t>0$$ и $$5^{2x+1}=5\cdot 5^{2x}=5t^2$$. Получаем:

   $$5t^2+4t-1>0$$

   $$\left(5t-1\right)\left(t+1\right)>0$$

   Так как $$t>0$$, то $$t>\frac{1}{5}$$, значит $$5^x>5^{-1}$$ и $$x>-1$$.

   На отрезке $$[-3;3]$$ целые решения: $$x=0,1,2,3$$.

4. $$3\cdot 9^x+11\cdot 3^x<4$$

   Положим $$t=3^x$$, тогда $$t>0$$ и $$9^x=3^{2x}=t^2$$. Получаем:

   $$3t^2+11t-4<0$$

   $$\left(3t-1\right)\left(t+4\right)<0$$

   С учётом $$t>0$$ имеем $$0<t<\frac{1}{3}$$, то есть $$3^x<3^{-1}$$, значит $$x<-1$$.

   На отрезке $$[-3;3]$$ целые решения: $$x=-3,-2$$.

Ответ

1) $$2,3$$; 2) $$-3,-2,-1,0,1$$; 3) $$0,1,2,3$$; 4) $$-3,-2$$.