Упр.701 ГДЗ Колягин Ткачёва 10 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Колягин, Ткачёва, Фёдорова 10 класс, Просвещение: 701. При каких значениях х сумма чисел 2^(x-1), 2^(x-4), 2^(x-2) равна сумме бесконечно убывающей геометрической прогрессии 6,5; 3,25; 1,625…?

Найдём сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии $$6{,}5;\ 3{,}25;\ 1{,}625;\ldots$$

Знаменатель прогрессии:

$$q=\frac{3{,}25}{6{,}5}=\frac12.$$

Тогда её сумма равна:

$$S=\frac{b_1}{1-q}=\frac{6{,}5}{1-\frac12}=\frac{6{,}5}{\frac12}=13.$$

Составим уравнение:

$$2^{x-1}+2^{x-4}+2^{x-2}=13.$$

Вынесем $$2^x$$ за скобки:

$$2^x\left(2^{-1}+2^{-4}+2^{-2}\right)=13.$$

Вычислим сумму в скобках:

$$2^{-1}+2^{-4}+2^{-2}=\frac12+\frac1{16}+\frac14=\frac{8}{16}+\frac1{16}+\frac4{16}=\frac{13}{16}.$$

Тогда

$$2^x\cdot \frac{13}{16}=13,$$

$$2^x=16,$$

$$2^x=2^4,$$

$$x=4.$$

Ответ

$$4$$