Упр.700 ГДЗ Колягин Ткачёва 10 класс (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Колягин, Ткачёва, Фёдорова 10 класс, Просвещение: 700. При каких значениях k уравнение (k-1)4^x-4*2^x+(k+2)=0 имеет хотя бы один корень?

Подробный ответ

Положим $$t=2^x, t>0.$$ Тогда уравнение принимает вид

$$ (k-1)t^2-4t+(k+2)=0. $$

Чтобы уравнение имело хотя бы один корень по $$x,$$ достаточно, чтобы квадратное уравнение относительно $$t$$ имело хотя бы один положительный корень.

Рассмотрим случаи.

$$k=1$$. Тогда
$$-4t+3=0,$$
откуда
$$t=\frac34>0.$$
Значит, при $$k=1$$ корень существует.
$$k\ne 1$$. Найдём дискриминант:
$$ D=16-4(k-1)(k+2)=16-4(k^2+k-2)=4(6-k^2-k). $$
Для существования действительных корней нужно
$$6-k^2-k\ge 0,$$
то есть
$$k^2+k-6\le 0,$$
$$ (k+3)(k-2)\le 0,$$
$$-3\le k\le 2.$$
Корни уравнения относительно $$t$$ равны
$$ t_{1,2}=\frac{2\pm \sqrt{6-k^2-k}}{k-1}. $$
Нужно, чтобы хотя бы один из них был положительным.
Если $$k>1,$$ то знаменатель положителен, и положительным будет корень
$$ t=\frac{2+\sqrt{6-k^2-k}}{k-1}, $$
поэтому при $$1<k\le 2$$ решение существует.
Если $$k<1,$$ то знаменатель отрицателен. Тогда положительным может быть только корень
$$ t=\frac{2-\sqrt{6-k^2-k}}{k-1}. $$
Требуем
$$ \frac{2-\sqrt{6-k^2-k}}{k-1}>0. $$
Так как $$k-1<0,$$ получаем
$$2-\sqrt{6-k^2-k}<0,$$
$$\sqrt{6-k^2-k}>2,$$
$$6-k^2-k>4,$$
$$k^2+k-2<0,$$
$$ (k+2)(k-1)<0,$$
$$-2<k<1.$$
С учётом условия $$-3\le k\le 2$$ получаем $$-2<k<1.$$