Упр.698 ГДЗ Колягин Ткачёва 10 класс (Алгебра)

1) корень х степени из 2 * корени 2х степени из 3 = 12
2) корень х степени из 5 * 5^x = 25

1) $$\sqrt[x]{2}\cdot \sqrt[2x]{3}=12.$$

Перепишем корни в виде степеней:

$$2^{\frac1x}\cdot 3^{\frac1{2x}}=12.$$

Так как $$12=2^2\cdot 3,$$ то левая часть должна иметь такие же показатели степеней при одинаковых основаниях. Получаем систему:

$$\frac1x=2,\qquad \frac1{2x}=1.$$

Из первого уравнения $$x=\frac12,$$ но тогда второе не выполняется. Следовательно, решений нет.

2) $$\sqrt[x]{5}\cdot 5^x=25.$$

Запишем корень как степень:

$$5^{\frac1x}\cdot 5^x=25.$$

Тогда

$$5^{x+\frac1x}=5^2,$$

откуда

$$x+\frac1x=2.$$

Умножим на $$x$$ $$\left(x\ne 0\right):$$

$$x^2+1=2x,$$

$$x^2-2x+1=0,$$

$$\left(x-1\right)^2=0,$$

$$x=1.$$

Проверка: $$\sqrt[1]{5}\cdot 5^1=5\cdot 5=25.$$

Ответ

1) решений нет; 2) $$x=1$$.