Упр.696 ГДЗ Колягин Ткачёва 10 класс (Алгебра)

1) 4*9^x-13*6^x+9*4^x=0
2) 16*9^x-25*12^x+9*16^x=0

1. $$4\cdot 9^x-13\cdot 6^x+9\cdot 4^x=0$$

   Разделим уравнение на $$4^x$$:

   $$4\left(\frac{9}{4}\right)^x-13\left(\frac{6}{4}\right)^x+9=0.$$

   Так как $$\frac{9}{4}=\left(\frac{3}{2}\right)^2$$ и $$\frac{6}{4}=\frac{3}{2},$$ получаем:

   $$4\left(\frac{3}{2}\right)^{2x}-13\left(\frac{3}{2}\right)^x+9=0.$$

   Обозначим $$t=\left(\frac{3}{2}\right)^x,\quad t>0.$$ Тогда:

   $$4t^2-13t+9=0.$$

   $$D=13^2-4\cdot 4\cdot 9=169-144=25.$$

   $$t_{1,2}=\frac{13\pm 5}{8}.$$

   Отсюда:

   $$t_1=1,\quad t_2=\frac{9}{4}.$$

   Возвращаемся к переменной $$x$$:

   $$\left(\frac{3}{2}\right)^x=1 \Rightarrow x=0,$$

   $$\left(\frac{3}{2}\right)^x=\frac{9}{4}=\left(\frac{3}{2}\right)^2 \Rightarrow x=2.$$

2. $$16\cdot 9^x-25\cdot 12^x+9\cdot 16^x=0$$

   Разделим уравнение на $$16^x$$:

   $$16\left(\frac{9}{16}\right)^x-25\left(\frac{12}{16}\right)^x+9=0.$$

   Так как $$\frac{9}{16}=\left(\frac{3}{4}\right)^2$$ и $$\frac{12}{16}=\frac{3}{4},$$ получаем:

   $$16\left(\frac{3}{4}\right)^{2x}-25\left(\frac{3}{4}\right)^x+9=0.$$

   Обозначим $$t=\left(\frac{3}{4}\right)^x,\quad t>0.$$ Тогда:

   $$16t^2-25t+9=0.$$

   $$D=25^2-4\cdot 16\cdot 9=625-576=49.$$

   $$t_{1,2}=\frac{25\pm 7}{32}.$$

   Отсюда:

   $$t_1=1,\quad t_2=\frac{9}{16}.$$

   Возвращаемся к переменной $$x$$:

   $$\left(\frac{3}{4}\right)^x=1 \Rightarrow x=0,$$

   $$\left(\frac{3}{4}\right)^x=\frac{9}{16}=\left(\frac{3}{4}\right)^2 \Rightarrow x=2.$$

Ответ

1) $$x=0,\ 2$$; 2) $$x=0,\ 2$$.