Упр.695 ГДЗ Колягин Ткачёва 10 класс (Алгебра)

1) 3^(2x+6)=2^(x+3)
2) 5^(x-2)=4^(2x-4)
3) 2^x*3^x=36^(x^2)
4) 9^(-(v(x-1)))=1/27

1. $$3^{2x+6}=2^{x+3}$$
   
   Представим левую часть как $$3^{2(x+3)}=(3^2)^{x+3}=9^{x+3}$$:
   $$9^{x+3}=2^{x+3}$$
   $$\left(\frac{9}{2}\right)^{x+3}=1$$
   Так как основание не равно $$1$$, то
   $$x+3=0,$$
   $$x=-3.$$
2. $$5^{x-2}=4^{2x-4}$$
   $$4^{2x-4}=4^{2(x-2)}=(4^2)^{x-2}=16^{x-2}$$
   Тогда
   $$5^{x-2}=16^{x-2}$$
   $$\left(\frac{5}{16}\right)^{x-2}=1$$
   Следовательно,
   $$x-2=0,$$
   $$x=2.$$
3. $$2^x\cdot 3^x=36^{x^2}$$
   $$\left(2\cdot 3\right)^x=36^{x^2}$$
   $$6^x=6^{2x^2}$$
   Приравниваем показатели:
   $$x=2x^2$$
   $$2x^2-x=0$$
   $$x(2x-1)=0$$
   Отсюда
   $$x=0 \quad \text{или} \quad x=\frac12.$$
4. $$9^{-\sqrt{x-1}}=\frac{1}{27}$$
   Представим всё через основание $$3$$:
   $$\left(3^2\right)^{-\sqrt{x-1}}=3^{-3}$$
   $$3^{-2\sqrt{x-1}}=3^{-3}$$
   Тогда
   $$-2\sqrt{x-1}=-3$$
   $$2\sqrt{x-1}=3$$
   $$\sqrt{x-1}=\frac32$$
   $$x-1=\frac94$$
   $$x=\frac{13}{4}.$$
   Проверим ОДЗ:
   $$x-1\ge 0,$$
   что выполнено.

Ответ

1) $$-3$$; 2) $$2$$; 3) $$0,\ \frac12$$; 4) $$\frac{13}{4}$$.