Упр.694 ГДЗ Колягин Ткачёва 10 класс (Алгебра)

1) 8*4^x-6*2^x+1=0
2) (1/4)^x+(1/2)^x-6=0
3) 13^(2x+1)-13^x-12=0
4) 3^(2x+1)-10*3^x+3=0
5) 2^3x+8*2^x-6*2^2x=0
6) 5^(3x+1)+34*5^2x-7*5^x=0

1. $$8\cdot 4^x-6\cdot 2^x+1=0$$

   Положим $$t=2^x$$, тогда $$4^x=2^{2x}=t^2$$. Получаем:

   $$8t^2-6t+1=0$$

   $$D=36-32=4$$

   $$t_{1,2}=\frac{6\pm 2}{16}$$

   $$t_1=\frac14,\quad t_2=\frac12$$

   Тогда:

   $$2^x=\frac14 \Rightarrow x=-2$$

   $$2^x=\frac12 \Rightarrow x=-1$$

2. $$\left(\frac14\right)^x+\left(\frac12\right)^x-6=0$$

   Положим $$t=\left(\frac12\right)^x$$, тогда $$\left(\frac14\right)^x=\left(\frac12\right)^{2x}=t^2$$. Получаем:

   $$t^2+t-6=0$$

   $$D=1+24=25$$

   $$t_{1,2}=\frac{-1\pm 5}{2}$$

   $$t_1=-3,\quad t_2=2$$

   Так как $$t=\left(\frac12\right)^x>0$$, подходит только $$t=2$$:

   $$\left(\frac12\right)^x=2 \Rightarrow x=-1$$

3. $$13^{2x+1}-13^x-12=0$$

   Положим $$t=13^x$$, тогда $$13^{2x+1}=13\cdot 13^{2x}=13t^2$$. Получаем:

   $$13t^2-t-12=0$$

   $$D=1+624=625$$

   $$t_{1,2}=\frac{1\pm 25}{26}$$

   $$t_1=1,\quad t_2=-\frac{12}{13}$$

   Так как $$t=13^x>0$$, подходит только $$t=1$$:

   $$13^x=1 \Rightarrow x=0$$

4. $$3^{2x+1}-10\cdot 3^x+3=0$$

   Положим $$t=3^x$$, тогда $$3^{2x+1}=3\cdot 3^{2x}=3t^2$$. Получаем:

   $$3t^2-10t+3=0$$

   $$D=100-36=64$$

   $$t_{1,2}=\frac{10\pm 8}{6}$$

   $$t_1=\frac13,\quad t_2=3$$

   Тогда:

   $$3^x=\frac13 \Rightarrow x=-1$$

   $$3^x=3 \Rightarrow x=1$$

5. $$2^{3x}+8\cdot 2^x-6\cdot 2^{2x}=0$$

   Положим $$t=2^x$$, тогда $$2^{3x}=t^3$$ и $$2^{2x}=t^2$$. Получаем:

   $$t^3-6t^2+8t=0$$

   $$t(t^2-6t+8)=0$$

   Так как $$t=2^x>0$$, то $$t\neq 0$$. Решаем квадратное уравнение:

   $$t^2-6t+8=0$$

   $$D=36-32=4$$

   $$t_{1,2}=\frac{6\pm 2}{2}$$

   $$t_1=2,\quad t_2=4$$

   Тогда:

   $$2^x=2 \Rightarrow x=1$$

   $$2^x=4 \Rightarrow x=2$$

6. $$5^{3x+1}+34\cdot 5^{2x}-7\cdot 5^x=0$$

   Положим $$t=5^x$$, тогда $$5^{3x+1}=5\cdot 5^{3x}=5t^3$$ и $$5^{2x}=t^2$$. Получаем:

   $$5t^3+34t^2-7t=0$$

   $$t(5t^2+34t-7)=0$$

   Так как $$t=5^x>0$$, то $$t\neq 0$$. Решаем квадратное уравнение:

   $$5t^2+34t-7=0$$

   $$D=34^2+4\cdot 5\cdot 7=1296$$

   $$t_{1,2}=\frac{-34\pm 36}{10}$$

   $$t_1=\frac15,\quad t_2=-7$$

   Подходит только $$t=\frac15$$:

   $$5^x=\frac15 \Rightarrow x=-1$$

Ответ

1) $$-2,\,-1$$; 2) $$-1$$; 3) $$0$$; 4) $$-1,\,1$$; 5) $$1,\,2$$; 6) $$-1$$.