Упр.688 ГДЗ Колягин Ткачёва 10 класс (Алгебра)

1) 10^x=корень третьей степени из 100
2) 10^x=корень пятой степени из 10000
3) 225^(2x^2-24) =15
4) 10^x=1/корень четвертой степени из 10000
5) (v10)^x=10^(x^2-x)
6) 100^(x^2-1)=10^(1-5x)

1. $$10^x=\sqrt[3]{100}=\sqrt[3]{10^2}=10^{\frac{2}{3}}.$$

   Тогда $$x=\frac{2}{3}.$$

2. $$10^x=\sqrt[5]{10000}=\sqrt[5]{10^4}=10^{\frac{4}{5}}.$$

   Следовательно, $$x=\frac{4}{5}=0{,}8.$$

3. $$225^{2x^2-24}=15.$$

   Так как $$225=15^2,$$ получаем

   $$\left(15^2\right)^{2x^2-24}=15^1,$$

   $$15^{4x^2-48}=15^1.$$

   Приравниваем показатели:

   $$4x^2-48=1,$$

   $$4x^2=49,$$

   $$x^2=\frac{49}{4},$$

   $$x=\pm \frac{7}{2}.$$

4. $$10^x=\frac{1}{\sqrt[4]{10000}}=\frac{1}{\sqrt[4]{10^4}}=\frac{1}{10}=10^{-1}.$$

   Значит, $$x=-1.$$

5. $$\left(\sqrt{10}\right)^x=10^{x^2-x}.$$

   Преобразуем левую часть:

   $$\left(10^{\frac12}\right)^x=10^{x^2-x},$$

   $$10^{\frac{x}{2}}=10^{x^2-x}.$$

   Приравниваем показатели:

   $$\frac{x}{2}=x^2-x,$$

   $$2x^2-3x=0,$$

   $$x(2x-3)=0.$$

   Отсюда $$x=0$$ или $$x=\frac{3}{2}.$$

6. $$100^{x^2-1}=10^{1-5x}.$$

   Так как $$100=10^2,$$ имеем

   $$\left(10^2\right)^{x^2-1}=10^{1-5x},$$

   $$10^{2(x^2-1)}=10^{1-5x}.$$

   Приравниваем показатели:

   $$2x^2-2=1-5x,$$

   $$2x^2+5x-3=0.$$

   Дискриминант:

   $$D=5^2-4\cdot 2\cdot(-3)=25+24=49.$$

   Тогда

   $$x=\frac{-5\pm 7}{2\cdot 2}.$$

   Получаем:

   $$x_1=\frac{1}{2}, \quad x_2=-3.$$

Ответ

1) $$\frac{2}{3}$$; 2) $$0{,}8$$; 3) $$-\frac{7}{2},\ \frac{7}{2}$$; 4) $$-1$$; 5) $$0,\ \frac{3}{2}$$; 6) $$-3,\ \frac{1}{2}$$.