Упр.686 ГДЗ Колягин Ткачёва 10 класс (Алгебра)

1)3^(x^2+x-12)=1
2) 2^(x^2-7x+10)=1
3) 2^((x-1)/(x-2))=4
4) 0,5^1/x=4^(1/(x+1))

1. $$3^{x^2+x-12}=1$$

   Так как $$3^0=1$$, то

   $$x^2+x-12=0$$
   $$\left(x+4\right)\left(x-3\right)=0$$
   $$x=-4 \text{ или } x=3$$

2. $$2^{x^2-7x+10}=1$$

   Так как $$2^0=1$$, то

   $$x^2-7x+10=0$$
   $$\left(x-5\right)\left(x-2\right)=0$$
   $$x=5 \text{ или } x=2$$

3. $$2^{\frac{x-1}{x-2}}=4$$

   Представим $$4$$ как степень двойки:

   $$2^{\frac{x-1}{x-2}}=2^2$$
   $$\frac{x-1}{x-2}=2$$
   $$x-1=2x-4$$
   $$x=3$$

   Проверим область определения: $$x-2\neq 0$$, значит $$x\neq 2$$. Полученное значение подходит.

4. $$0{,}5^{\frac{1}{x}}=4^{\frac{1}{x+1}}$$

   Запишем основания как степени числа $$2$$:

   $$\left(\frac12\right)^{\frac{1}{x}}=\left(2^2\right)^{\frac{1}{x+1}}$$
   $$2^{-\frac{1}{x}}=2^{\frac{2}{x+1}}$$
   $$-\frac{1}{x}=\frac{2}{x+1}$$
   $$-(x+1)=2x$$
   $$-x-1=2x$$
   $$3x=-1$$
   $$x=-\frac13$$

   Проверим область определения: $$x\neq 0$$, $$x\neq -1$$. Значение $$x=-\frac13$$ подходит.

Ответ

1) $$x=-4,\ 3$$; 2) $$x=2,\ 5$$; 3) $$x=3$$; 4) $$x=-\frac13$$.