Упр.685 ГДЗ Колягин Ткачёва 10 класс (Алгебра)

1) 3^x+3^(3-x)-12=0
2) 2^(x+2)-2^(2-x)=15

1) Решим уравнение $$3^x+3^{3-x}-12=0.$$

Положим $$t=3^x,$$ тогда $$t>0$$ и $$3^{3-x}=\dfrac{27}{t}.$$ Получаем:

$$t+\dfrac{27}{t}-12=0.$$

Умножим на $$t$$:

$$t^2-12t+27=0.$$

$$D=12^2-4\cdot 27=144-108=36.$$

$$t_{1,2}=\dfrac{12\pm 6}{2}$$

$$t_1=9,\quad t_2=3.$$

Тогда:

$$3^x=9 \Rightarrow x=2,$$

$$3^x=3 \Rightarrow x=1.$$

2) Решим уравнение $$2^{x+2}-2^{2-x}=15.$$

Положим $$t=2^x,$$ тогда $$t>0$$ и

$$2^{x+2}=4t,\qquad 2^{2-x}=\dfrac{4}{t}.$$

Получаем:

$$4t-\dfrac{4}{t}=15.$$

Умножим на $$t$$:

$$4t^2-15t-4=0.$$

$$D=15^2-4\cdot 4\cdot(-4)=225+64=289,$$

$$t_{1,2}=\dfrac{15\pm 17}{8}.$$

$$t_1=4,\quad t_2=-\dfrac14.$$

Так как $$t>0,$$ подходит только $$t=4.$$ Тогда

$$2^x=4 \Rightarrow x=2.$$

Ответ

1) $$x=1,\ 2$$; 2) $$x=2$$.