Упр.656 ГДЗ Колягин Ткачёва 10 класс (Алгебра)

q(p) = 70/(3р+5) — 2, где р — цена товара. Найти: 1) область определения и множество значений функции спроса; 2) объём спроса при цене р = 5; 3) функцию, обратную функции спроса.

Дана функция спроса:

$$q(p)=\frac{70}{3p+5}-2,$$

где $$p$$ — цена товара.

1. Найдём область определения и множество значений.

   Так как $$p$$ — цена товара, то $$p \ge 0$$. Кроме того, знаменатель не должен обращаться в нуль:

   $$3p+5 \ne 0.$$

   При $$p \ge 0$$ это условие выполняется автоматически.

   Функция убывает при $$p \ge 0$$, поэтому находим её значения на концах промежутка:

   $$q(0)=\frac{70}{5}-2=14-2=12,$$

   $$q(10)=\frac{70}{35}-2=2-2=0.$$

   Следовательно,

   $$D(q)=[0;10], \qquad E(q)=[0;12].$$

2. Найдём объём спроса при $$p=5$$:

   $$q(5)=\frac{70}{3\cdot 5+5}-2=\frac{70}{20}-2=3{,}5-2=1{,}5.$$

3. Найдём обратную функцию.

   Пусть

   $$q=\frac{70}{3p+5}-2.$$

   Тогда

   $$q+2=\frac{70}{3p+5},$$

   $$3p+5=\frac{70}{q+2},$$

   $$3p=\frac{70}{q+2}-5,$$

   $$p=\frac{70-5(q+2)}{3(q+2)}=\frac{60-5q}{3q+6}.$$

   Значит, обратная функция имеет вид

   $$p(q)=\frac{60-5q}{3q+6}.$$

Ответ

1) $$D(q)=[0;10], \ E(q)=[0;12].$$

2) $$q(5)=1{,}5.$$

3) $$p(q)=\frac{60-5q}{3q+6}.$$