Упр.655 ГДЗ Колягин Ткачёва 10 класс (Алгебра)

1) v(x-2)+v(x-6) < a 2) 2x+v(a^2-x^2) > 0

1. Рассмотрим неравенство $$\sqrt{x-2}+\sqrt{x-6}

   Область определения:

   $$x-2\ge 0,\quad x-6\ge 0 \;\Rightarrow\; x\ge 6.$$

   Так как левая часть неравенства неотрицательна, то при $$a\le 2$$ решений нет, поскольку при $$x=6$$ имеем

   $$\sqrt{6-2}+\sqrt{6-6}=2.$$

   При $$a>2$$ возведём неравенство в квадрат:

   $$ \sqrt{x-2}+\sqrt{x-6}

   После возведения в квадрат получаем:

   $$ 4(x^2-8x+12)<(a^2-2x+8)^2 $$
   $$ 4x^2-32x+48<a^4-4a^2x+16a^2+4x^2-32x+64 $$
   $$ 4a^2x<a^4+16a^2+16 $$
   $$ x<\frac{a^4+16a^2+16}{4a^2}. $$

   С учётом области определения:

   $$ 6\le x<\frac{a^4+16a^2+16}{4a^2}. $$

2. Рассмотрим неравенство $$2x+\sqrt{a^2-x^2}>0.$$

   Перенесём $$2x$$ вправо:

   $$\sqrt{a^2-x^2}>-2x.$$

   Область определения:

   $$a^2-x^2\ge 0 \;\Rightarrow\; x^2\le a^2 \;\Rightarrow\; -|a|\le x\le |a|.$$

   Если $$a=0$$, то решений нет.

   Если $$a\ne 0$$, то при $$x>0$$ правая часть $$-2x<0$$, а левая часть неотрицательна, значит неравенство выполняется. Возведём в квадрат:

   $$ a^2-x^2>4x^2 $$
   $$ a^2>5x^2 $$
   $$ x^2<\frac{a^2}{5} $$
   $$ -\frac{|a|}{\sqrt5}<x<\frac{|a|}{\sqrt5}. $$

   С учётом условия $$x>0$$ и области определения получаем:

   $$ 0<x<\frac{|a|}{\sqrt5}. $$

Ответ

1) Если $$a\le 2$$, решений нет; если $$a>2$$, то $$6\le x<\dfrac{a^4+16a^2+16}{4a^2}$$.

2) Если $$a=0$$, решений нет; если $$a\ne 0$$, то $$0<x<\dfrac{|a|}{\sqrt5}$$.