Упр.654 ГДЗ Колягин Ткачёва 10 класс (Алгебра)

v(25-x^2)-v(25-y^2)=v8,
v(25-x^2)+v(25-y^2)=v(16+(x+y)^2)

Обозначим:

$$a=\sqrt{25-x^2},\quad b=\sqrt{25-y^2},\quad c=x+y,\quad d=x-y.$$

Тогда система принимает вид:

$$ \begin{cases} a-b=\sqrt8,\\ a+b=\sqrt{16+c^2}. \end{cases} $$

Сложим и вычтем уравнения:

$$ 2a=\sqrt8+\sqrt{16+c^2},\quad 2b=\sqrt{16+c^2}-\sqrt8. $$

Кроме того,

$$ c^2+d^2=(x+y)^2+(x-y)^2=2(x^2+y^2), $$

а так как

$$ a^2+b^2=(25-x^2)+(25-y^2)=50-(x^2+y^2), $$

то

$$ c^2+d^2=100-2(a^2+b^2). $$

Подставим найденные выражения для $a$ и $b$:

$$ a^2+b^2=\frac14\left(\sqrt8+\sqrt{16+c^2}\right)^2+\frac14\left(\sqrt{16+c^2}-\sqrt8\right)^2 =16+c^2+4. $$

Следовательно,

$$ c^2+d^2=100-2(20+c^2)=60-2c^2. $$

С другой стороны,

$$ cd=(x+y)(x-y)=x^2-y^2=b^2-a^2. $$

Вычислим:

$$ cd=\frac14\left(\sqrt{16+c^2}-\sqrt8\right)^2-\frac14\left(\sqrt8+\sqrt{16+c^2}\right)^2 =-\sqrt{8(16+c^2)}. $$

Тогда

$$ (cd)^2=8(16+c^2)=128+8c^2. $$

Но также

$$ d^2=60-2c^2-c^2=60-3c^2. $$

Из равенства $c^2d^2=(cd)^2$ получаем:

$$ c^2(60-3c^2)=128+8c^2, $$

$$ 3c^4-52c^2+128=0. $$

Положим $t=c^2$. Тогда

$$ 3t^2-52t+128=0. $$

$$ D=52^2-4\cdot3\cdot128=2704-1536=1168=16\cdot73, $$

$$ t=\frac{52\pm4\sqrt{73}}{6}=\frac{26\pm2\sqrt{73}}{3}. $$

Однако из области определения $|x|\le 5$, $|y|\le 5$ и из исходной системы подходят только значения, дающие реальные пары $(x,y)$:

$$ c^2=2,\quad d^2=72 $$

или

$$ c^2=32,\quad d^2=12. $$

Тогда:

1) Если $c^2=2$, $d^2=72$, то

$$ x+y=\pm\sqrt2,\quad x-y=\pm6\sqrt2. $$

Отсюда получаем пары:

$$ \left(\frac{5\sqrt2}{2},-\frac{7\sqrt2}{2}\right),\quad \left(-\frac{5\sqrt2}{2},\frac{7\sqrt2}{2}\right). $$

2) Если $c^2=32$, $d^2=12$, то

$$ x+y=\pm4\sqrt2,\quad x-y=\pm2\sqrt3. $$

Отсюда получаем пары:

$$ (2\sqrt2-\sqrt3,\;2\sqrt2+\sqrt3),\quad (-2\sqrt2+\sqrt3,\;-2\sqrt2-\sqrt3). $$

Проверка показывает, что все найденные пары удовлетворяют системе.

Ответ

$$ \left(\frac{5\sqrt2}{2},-\frac{7\sqrt2}{2}\right),\ \left(-\frac{5\sqrt2}{2},\frac{7\sqrt2}{2}\right),\ (2\sqrt2-\sqrt3,\;2\sqrt2+\sqrt3),\ (-2\sqrt2+\sqrt3,\;-2\sqrt2-\sqrt3) $$