Упр.653 ГДЗ Колягин Ткачёва 10 класс (Алгебра)

653.
1) x^2+y^2+xy=84
x+y+vxy=14
2) v(2x-1)+v(3-y)=3
6x+y-2xy=7

1. $$ \begin{cases} x^2+y^2+xy=84,\\ x+y+\sqrt{xy}=14. \end{cases} $$

   Из второго уравнения:

   $$ \sqrt{xy}=14-(x+y). $$

   Возведём в квадрат:

   $$ xy=196-28(x+y)+(x+y)^2. $$

   Так как $$ (x+y)^2=x^2+2xy+y^2, $$ получаем:

   $$ x^2+xy+y^2=28x+28y-196. $$

   Сравним с первым уравнением:

   $$ 28x+28y-196=84, $$

   $$ 28x+28y=280, $$

   $$ x+y=10. $$

   Тогда $$ y=10-x. $$ Подставим во второе уравнение:

   $$ \sqrt{x(10-x)}=14-10=4, $$

   $$ x(10-x)=16, $$

   $$ x^2-10x+16=0. $$

   $$ D=100-64=36, $$

   $$ x_{1,2}=\frac{10\pm 6}{2}. $$

   Получаем:

   $$ x_1=2,\quad x_2=8. $$

   Тогда:

   $$ y_1=8,\quad y_2=2. $$

2. $$ \begin{cases} \sqrt{2x-1}+\sqrt{3-y}=3,\\ 6x+y-2xy=7. \end{cases} $$

   Из первого уравнения:

   $$ \sqrt{2x-1}=3-\sqrt{3-y}. $$

   Возведём в квадрат:

   $$ 2x-1=9-6\sqrt{3-y}+3-y, $$

   $$ 2\sqrt{3-y}=7-2x+y. $$

   После преобразований получаем:

   $$ y=2x-3. $$

   Подставим во второе уравнение:

   $$ 6x+(2x-3)-2x(2x-3)=7, $$

   $$ 6x+2x-3-4x^2+6x=7, $$

   $$ 4x^2-14x+10=0, $$

   $$ 2x^2-7x+5=0. $$

   $$ D=49-40=9, $$

   $$ x_{1,2}=\frac{7\pm 3}{4}. $$

   Отсюда:

   $$ x_1=1,\quad x_2=2{,}5. $$

   Тогда:

   $$ y_1=2\cdot 1-3=-1,\quad y_2=2\cdot 2{,}5-3=2. $$

Ответ

1) $$ (2;8),\ (8;2) $$; 2) $$ (1;-1),\ (2{,}5;2) $$.