Упр.652 ГДЗ Колягин Ткачёва 10 класс (Алгебра)

Задача

1) (x^2-13x+40)/v(19x-x^2-78) < =0 2) v(2x^2+7x-4)/(x+4) < 1/2 3) v(3+x) > |x-3|
4) v(3-x) < v(7+x)+v(10+x)

Подробный ответ

$$\frac{x^2-13x+40}{\sqrt{19x-x^2-78}}\le 0.$$
Так как знаменатель должен быть положительным, то
$$19x-x^2-78>0.$$
Числитель не должен быть положительным:
$$x^2-13x+40\le 0,$$
$$\left(x-5\right)\left(x-8\right)\le 0,$$
$$5\le x\le 8.$$
Найдём область определения:
$$19x-x^2-78>0,$$
$$x^2-19x+78<0,$$
$$\left(x-6\right)\left(x-13\right)<0,$$
$$6<x<13.$$
Пересечение:
$$x\in(6;8].$$
$$\frac{\sqrt{2x^2+7x-4}}{x+4}<\frac12.$$
Рассмотрим случаи.
1) Если $$x+4>0,$$ то
$$2\sqrt{2x^2+7x-4}<x+4,$$
$$4(2x^2+7x-4)<(x+4)^2,$$
$$7x^2+20x-32<0.$$
Тогда
$$\left(x+4\right)\left(x-\frac87\right)<0,$$
$$-4<x<\frac87.$$
С учётом области определения
$$2x^2+7x-4\ge 0,$$
$$\left(x+4\right)\left(2x-1\right)\ge 0,$$
получаем
$$x\in\left[-4,-4\right]\cup\left[\frac12,\frac87\right).$$
Но при $$x>-4$$ остаётся
$$x\in\left[\frac12,\frac87\right).$$
2) Если $$x+4<0,$$ то левая часть отрицательна, а правая положительна, значит неравенство выполняется при всех допустимых $$x.$$
Из области определения:
$$2x^2+7x-4\ge 0 \;\Rightarrow\; x\le -4 \text{ или } x\ge \frac12.$$
С учётом $$x<-4$$ получаем
$$x\in(-\infty;-4).$$
Итак,
$$x\in(-\infty;-4)\cup\left[\frac12;\frac87\right).$$
$$\sqrt{3+x}>|x-3|.$$
Возведём обе части в квадрат:
$$3+x>(x-3)^2,$$
$$3+x>x^2-6x+9,$$
$$x^2-7x+6<0,$$
$$\left(x-1\right)\left(x-6\right)<0,$$
$$1<x<6.$$
Область определения:
$$3+x\ge 0,$$
$$x\ge -3.$$
Она не ограничивает найденный промежуток.
$$\sqrt{3-x}<\sqrt{7+x}+\sqrt{10+x}.$$
Область определения:
$$3-x\ge 0,\quad 7+x\ge 0,\quad 10+x\ge 0,$$
откуда
$$-7\le x\le 3.$$
Перенесём и возведём в квадрат:
$$3-x<7+x+2\sqrt{(7+x)(10+x)}+10+x,$$
$$-3x-14<2\sqrt{(7+x)(10+x)}.$$
После возведения в квадрат получаем
$$9x^2+84x+196<4(70+17x+x^2),$$
$$5x^2+16x-84<0,$$
$$\left(x+6\right)\left(x-\frac{14}{5}\right)<0,$$
$$-6<x<\frac{14}{5}.$$
С учётом области определения:
$$x\in\left[-6;\frac{14}{5}\right).$$