Упр.651 ГДЗ Колягин Ткачёва 10 класс (Алгебра)
- 651. Решить неравенство: 1) $$\sqrt{x+1}
$$\sqrt{x+1}
Так как левая часть неотрицательна, то должно быть $$x-1>0,$$ то есть $$x>1.$$
Возведём обе части в квадрат:
$$x+1<(x-1)^2$$
$$x+1<x^2-2x+1$$
$$x^2-3x>0$$
$$x(x-3)>0$$
Отсюда $$x<0$$ или $$x>3.$$ С учётом области допустимых значений $$x>1$$ получаем:
$$x\in(3;+\infty).$$
$$\sqrt{1-x}>x+1$$
Необходимо, чтобы $$1-x\ge 0,$$ то есть $$x\le 1.$$
Кроме того, правая часть должна быть положительной:
$$x+1>0,$$ то есть $$x>-1.$$
Возведём обе части в квадрат:
$$1-x>(x+1)^2$$
$$1-x>x^2+2x+1$$
$$x^2+3x<0$$
$$x(x+3)<0$$
Отсюда $$-3<x<0.$$ С учётом условий $$x>-1$$ и $$x\le 1$$ получаем:
$$x\in(-1;0).$$
$$\sqrt{3x-2}>x-2$$
Область допустимых значений:
$$3x-2\ge 0,\quad x\ge \frac{2}{3}.$$
Если $$x-2<0,$$ то неравенство выполняется автоматически при $$x\ge \frac{2}{3}.$$ Значит, достаточно рассмотреть случай $$x\ge 2.$$
При $$x\ge 2$$ возведём обе части в квадрат:
$$3x-2>(x-2)^2$$
$$3x-2>x^2-4x+4$$
$$x^2-7x+6<0$$
$$(x-1)(x-6)<0$$
Отсюда $$1<x<6.$$ С учётом условия $$x\ge \frac{2}{3}$$ и случая $$x<2$$ получаем:
$$x\in\left[\frac{2}{3};6\right).$$
$$\sqrt{2x+1}\le x+1$$
Область допустимых значений:
$$2x+1\ge 0,\quad x\ge -\frac12.$$
Так как левая часть неотрицательна, то должно быть $$x+1\ge 0,$$ что выполняется при $$x\ge -1.$$
Возведём обе части в квадрат:
$$2x+1\le (x+1)^2$$
$$2x+1\le x^2+2x+1$$
$$x^2\ge 0.$$
Это верно при всех $$x,$$ удовлетворяющих ОДЗ. Значит,
$$x\in\left[-\frac12;+\infty\right).$$
Ответ
1) $$\left(3;+\infty\right);$$ 2) $$(-1;0);$$ 3) $$\left[\frac{2}{3};6\right);$$ 4) $$\left[-\frac12;+\infty\right).$$
