Упр.650 ГДЗ Колягин Ткачёва 10 класс (Алгебра)

Задача

1) v(x+4)-3*корень четвертой степени из (х+4)+2=0
2) v(x-3)=3*корень четвертой степени из (х+4)+4
3) корень шестой степени из (х-1) — 5*корень третьей степени из (1-х)=-6
4) x^2+3x+v(x^2+3x)=2
5) v(x+6-4v(x+2))+v(11+x-6v(x+2))=1

Подробный ответ

Пусть $$y=\sqrt[4]{x+4}.$$ Тогда $$y^2-3y+2=0.$$
$$D=3^2-4\cdot 2=1,$$
$$y_{1,2}=\frac{3\pm 1}{2}, \quad y_1=1,\; y_2=2.$$
1) $$\sqrt[4]{x+4}=1 \Rightarrow x+4=1 \Rightarrow x=-3.$$
2) $$\sqrt[4]{x+4}=2 \Rightarrow x+4=16 \Rightarrow x=12.$$
Пусть $$y=\sqrt[4]{x-3}.$$ Тогда $$y^2-3y+4=0.$$
$$D=3^2-4\cdot 4=25,$$
$$y_{1,2}=\frac{3\pm 5}{2}, \quad y_1=-1,\; y_2=4.$$
Значение $$y=-1$$ не подходит, так как $$\sqrt[4]{x-3}\ge 0.$$
$$\sqrt[4]{x-3}=4 \Rightarrow x-3=256 \Rightarrow x=259.$$
Пусть $$y=\sqrt[6]{1-x}.$$ Тогда $$y-5y^2=-6,$$ то есть
$$5y^2-y-6=0.$$
$$D=1+120=121,$$
$$y_{1,2}=\frac{1\pm 11}{10}, \quad y_1=-1,\; y_2=\frac{6}{5}.$$
Значение $$y=-1$$ не подходит, так как $$\sqrt[6]{1-x}\ge 0.$$
$$\sqrt[6]{1-x}=\frac{6}{5} \Rightarrow 1-x=\left(\frac{6}{5}\right)^6=\frac{46656}{15625}.$$
$$x=1-\frac{46656}{15625}=-\frac{31031}{15625}.$$
Пусть $$y=\sqrt{x^2+3x}.$$ Тогда $$y^2+y=2,$$ то есть
$$y^2+y-2=0.$$
$$D=1+8=9,$$
$$y_{1,2}=\frac{-1\pm 3}{2}, \quad y_1=-2,\; y_2=1.$$
Значение $$y=-2$$ не подходит, так как $$\sqrt{x^2+3x}\ge 0.$$
$$\sqrt{x^2+3x}=1 \Rightarrow x^2+3x=1 \Rightarrow x^2+3x-1=0.$$
$$D=3^2+4=13,$$
$$x_{1,2}=\frac{-3\pm \sqrt{13}}{2}.$$
Пусть $$t=\sqrt{x+2}.$$ Тогда исходное уравнение принимает вид
$$\sqrt{(t-2)^2}+\sqrt{(t-3)^2}=1,$$
то есть
$$|t-2|+|t-3|=1.$$
Рассмотрим случаи:
1) если $$t\ge 3,$$ то $$t-2+t-3=1,$$ откуда $$2t=6,$$ $$t=3,$$ $$x+2=9,$$ $$x=7.$$
2) если $$2\le t<3,$$ то $$t-2+3-t=1,$$ верно при любом таком $$t.$$ Значит, $$2\le \sqrt{x+2}<3,$$ откуда $$2\le x+2<9,$$ то есть $$0\le x<7.$$
3) если $$t<2,$$ то $$2-t+3-t=1,$$ откуда $$2t=4,$$ $$t=2,$$ $$x=2.$$
С учётом области определения $$x+2\ge 0$$ получаем $$x\in [0;7].$$