Упр.649 ГДЗ Колягин Ткачёва 10 класс (Алгебра)

Задача

649.
1) v(x-4)=v(x-3)-v(2x-1)
2) 2v(x+3)-v(2x+7)=vx
3) v(x-3)=v(2x+1)-v(x+4)
4) v(9-2x)=2v(4-x)-v(1-x)

Подробный ответ

$$\sqrt{x-4}=\sqrt{x-3}-\sqrt{2x-1}$$

Перенесём корни:
$$\sqrt{x-4}+\sqrt{2x-1}=\sqrt{x-3}$$
Возведём в квадрат:
$$ x-4+2\sqrt{(x-4)(2x-1)}+2x-1=x-3 $$
$$ 2\sqrt{2x^2-9x+4}=1-x $$
Тогда
$$ \sqrt{2x^2-9x+4}=\frac{1-x}{2} $$
Но левая часть неотрицательна, значит $$1-x\ge 0,$$ то есть $$x\le 1.$$
При этом из области определения:
$$ x-4\ge 0,\quad x-3\ge 0,\quad 2x-1\ge 0 $$
получаем $$x\ge 4.$$
Совместить $$x\ge 4$$ и $$x\le 1$$ невозможно, значит решений нет.
$$2\sqrt{x+3}-\sqrt{2x+7}=\sqrt{x}$$
Перенесём:
$$2\sqrt{x+3}=\sqrt{x}+\sqrt{2x+7}$$
Возведём в квадрат:
$$ 4(x+3)=x+2\sqrt{x(2x+7)}+2x+7 $$
$$ x+5=2\sqrt{2x^2+7x} $$
$$ x^2+10x+25=4(2x^2+7x) $$
$$ 7x^2+18x-25=0 $$
$$ D=18^2+4\cdot 7\cdot 25=1024 $$
$$ x_1=\frac{-18-32}{14}=-\frac{25}{7},\qquad x_2=\frac{-18+32}{14}=1 $$
По области определения:
$$x+3\ge 0,\quad 2x+7\ge 0,\quad x\ge 0,$$
значит подходит только $$x=1.$$
$$\sqrt{x-3}=\sqrt{2x+1}-\sqrt{x+4}$$
Перенесём:
$$\sqrt{x-3}+\sqrt{x+4}=\sqrt{2x+1}$$
Возведём в квадрат:
$$ x-3+2\sqrt{(x-3)(x+4)}+x+4=2x+1 $$
$$ 2\sqrt{x^2+x-12}=0 $$
$$ x^2+x-12=0 $$
$$ (x+4)(x-3)=0 $$
$$ x=-4 \text{ или } x=3 $$
По области определения $$x\ge 3,$$ значит подходит только $$x=3.$$
$$\sqrt{9-2x}=2\sqrt{4-x}-\sqrt{1-x}$$
Перенесём:
$$\sqrt{9-2x}+\sqrt{1-x}=2\sqrt{4-x}$$
Возведём в квадрат:
$$ 9-2x+2\sqrt{(9-2x)(1-x)}+1-x=4(4-x) $$
$$ 10-3x+2\sqrt{9-11x+2x^2}=16-4x $$
$$ 2\sqrt{2x^2-11x+9}=6-x $$
$$ 4(2x^2-11x+9)=(6-x)^2 $$
$$ 8x^2-44x+36=36-12x+x^2 $$
$$ 7x^2-32x=0 $$
$$ x(7x-32)=0 $$
$$ x=0 \text{ или } x=\frac{32}{7} $$
По области определения:
$$9-2x\ge 0,\quad 4-x\ge 0,\quad 1-x\ge 0,$$
значит $$x\le 1.$$
Подходит только $$x=0.$$