Упр.648 ГДЗ Колягин Ткачёва 10 класс (Алгебра)

1) y=(3x-1)/(x+3)
2) y=(4x-3)/(2x-1)
3) y=v((x-2)(x+3))
4) y= v(2x^2+5x-3)
5) y=1/(x+1)(x+2)
6) y=1/(x^2-7x-8)

1. $$y=\frac{3x-1}{x+3}=\frac{3x+9-10}{x+3}=3-\frac{10}{x+3}, \qquad x\ne -3.$$

   Это гипербола с асимптотами $$x=-3$$ и $$y=3.$$ Центр симметрии: $$(-3;\,3).$$

2. $$y=\frac{4x-3}{2x-1}=\frac{4x-2-1}{2x-1}=2-\frac{1}{2x-1}, \qquad x\ne \frac12.$$

   Асимптоты: $$x=\frac12$$ и $$y=2.$$ Центр симметрии: $$\left(\frac12;\,2\right).$$

3. $$y=\sqrt{(x-2)(x+3)}.$$

   Область определения задаётся неравенством

   $$ (x-2)(x+3)\ge 0. $$

   Отсюда $$x\le -3$$ или $$x\ge 2.$$ Нули функции: $$x=-3$$ и $$x=2.$$

   Для построения удобно отметить вершину между корнями:

   $$x_0=\frac{-3+2}{2}=-\frac12.$$

4. $$y=\sqrt{2x^2+5x-3}.$$

   Требуется

   $$ 2x^2+5x-3\ge 0. $$

   Найдём корни уравнения $$2x^2+5x-3=0$$:

   $$ D=5^2-4\cdot 2\cdot(-3)=25+24=49, $$

   $$ x_1=\frac{-5-7}{4}=-3,\qquad x_2=\frac{-5+7}{4}=\frac12. $$

   Так как ветви параболы направлены вверх, то

   $$x\le -3 \quad \text{или} \quad x\ge \frac12.$$

   Нули функции: $$x=-3$$ и $$x=\frac12.$$

5. $$y=\frac{1}{(x+1)(x+2)}.$$

   Область определения:

   $$ (x+1)(x+2)\ne 0,\qquad x\ne -1,\; x\ne -2. $$

   Это график дробно-рациональной функции с вертикальными асимптотами $$x=-1$$ и $$x=-2.$$

   Для построения удобно отметить середину между точками разрыва:

   $$x_0=\frac{-1+(-2)}{2}=-\frac32.$$

6. $$y=\frac{1}{x^2-7x-8}.$$

   Разложим знаменатель на множители:

   $$ x^2-7x-8=(x-8)(x+1). $$

   Тогда

   $$ y=\frac{1}{(x-8)(x+1)}, \qquad x\ne 8,\; x\ne -1. $$

   Вертикальные асимптоты: $$x=-1$$ и $$x=8.$$

   Середина между ними:

   $$x_0=\frac{-1+8}{2}=\frac72.$$

Ответ

1) $$y=3-\frac{10}{x+3},\ x\ne -3;$$
2) $$y=2-\frac{1}{2x-1},\ x\ne \frac12;$$
3) $$D(y)=(-\infty,-3]\cup[2,\infty);$$
4) $$D(y)=(-\infty,-3]\cup\left[\frac12,\infty\right);$$
5) $$x\ne -1,\,-2;$$
6) $$y=\frac{1}{(x-8)(x+1)},\ x\ne -1,\ 8.$$