Упр.645 ГДЗ Колягин Ткачёва 10 класс (Алгебра)
- Выяснить, являются ли взаимно обратными функции:
1) $$y=\frac{10-3x}{x-4}$$ и $$y=\frac{4x+10}{x+3}$$;
2) $$y=\frac{3x-6}{3x-1}$$ и $$y=\frac{6-x}{3-3x}$$;
3) $$y=5(1-x)^{-1}$$ и $$y=(5-x)x^{-1}$$;
4) $$y=\frac{2-x}{2+x}$$ и $$y=\frac{2(x-1)}{1+x}$$.
$$y=\frac{10-3x}{x-4}$$
Выразим $$x$$ через $$y$$:
$$x=\frac{10-4y}{3+y}$$
Преобразуем:
$$x(3+y)=10-4y$$
$$3x+xy=10-4y$$
$$xy+4y=10-3x$$
$$y(x+4)=10-3x$$
$$y=\frac{10-3x}{x+4}$$Полученная функция не совпадает с $$y=\frac{4x+10}{x+3}$$, значит, данные функции не являются взаимно обратными.
Ответ: нет.
$$y=\frac{3x-6}{3x-1}$$
Выразим $$x$$ через $$y$$:
$$x=\frac{3y-6}{3y-1}$$
Преобразуем:
$$x(3y-1)=3y-6$$
$$3xy-x=3y-6$$
$$3xy-3y=x-6$$
$$y(3x-3)=x-6$$
$$y=\frac{x-6}{3x-3}=\frac{6-x}{3-3x}$$Это вторая функция, значит, данные функции взаимно обратные.
Ответ: да.
$$y=5(1-x)^{-1}=\frac{5}{1-x}$$
Выразим $$x$$ через $$y$$:
$$x=\frac{5}{1-y}$$
Преобразуем:
$$x(1-y)=5$$
$$x-xy=5$$
$$xy=x-5$$
$$y=\frac{x-5}{x}$$Но вторая функция:
$$y=(5-x)\cdot x^{-1}=\frac{5-x}{x}$$
Она не совпадает с найденной обратной функцией, значит, данные функции не являются взаимно обратными.
Ответ: нет.
$$y=\frac{2-x}{2+x}$$
Выразим $$x$$ через $$y$$:
$$x=\frac{2-y}{2+y}$$
Преобразуем:
$$x(2+y)=2-y$$
$$2x+xy=2-y$$
$$xy+y=2-2x$$
$$y(x+1)=2(1-x)$$
$$y=\frac{2(1-x)}{1+x}$$Это не совпадает с $$y=\frac{2(x-1)}{1+x}$$, значит, данные функции не являются взаимно обратными.
Ответ: нет.
