Упр.634 ГДЗ Колягин Ткачёва 10 класс (Алгебра)

1) v(x-1) < a 2) v(2ax-x^2) > =a-x, если а < =0

1. $$\sqrt{x-1}

   Так как левая часть неотрицательна, то при $$a\le 0$$ решений нет.

   Если $$a>0$$, то можно возвести обе части в квадрат:

   $$x-1<a^2$$

   $$x<a^2+1$$

   С учётом области определения $$x-1\ge 0$$, то есть $$x\ge 1$$, получаем:

   $$1\le x<a^2+1$$

2. $$\sqrt{2ax-x^2}\ge a-x,\qquad a\le 0$$

   Область определения:

   $$2ax-x^2\ge 0$$

   $$x(2a-x)\ge 0$$

   При $$a\le 0$$ это даёт:

   $$2a\le x\le 0$$

   Кроме того, правая часть не должна быть положительной, иначе неравенство автоматически выполняется не всегда. Удобно возвести обе части в квадрат при условии $$a-x\le 0$$, то есть $$x\ge a$$:

   $$2ax-x^2\ge (a-x)^2$$

   $$2ax-x^2\ge a^2-2ax+x^2$$

   $$2x^2-4ax+a^2\le 0$$

   Решим квадратное неравенство:

   $$D=(-4a)^2-4\cdot 2\cdot a^2=8a^2$$

   $$x_{1,2}=\frac{4a\pm 2a\sqrt2}{4}=\frac a2(2\pm \sqrt2)$$

   Так как коэффициент при $$x^2$$ положителен, то

   $$\frac a2(2-\sqrt2)\le x\le \frac a2(2+\sqrt2)$$

   С учётом условий $$a\le 0$$ и $$x\ge a$$ получаем итог:

   $$\frac a2(2+\sqrt2)\le x\le 0$$

Ответ

1) $$1\le x<a^2+1$$ при $$a>0$$; при $$a\le 0$$ решений нет.

2) $$\dfrac a2(2+\sqrt2)\le x\le 0$$.