Упр.633 ГДЗ Колягин Ткачёва 10 класс (Алгебра)

Задача

1) (v(1-x^3)-1)/(1+x) < =x 2) (4x^2-9)/(v(3x^2-3)) < =2/3x+1

Подробный ответ

$$\frac{\sqrt{1-x^3}-1}{1+x}\le x.$$
Область определения:
$$1-x^3\ge 0,\qquad 1+x\ne 0.$$
$$x\le 1,\qquad x\ne -1.$$
Рассмотрим два случая.
1) Если $$x>-1$$, то $$1+x>0$$, и можно умножить неравенство на $$1+x$$:
$$\sqrt{1-x^3}-1\le x+x^2,$$
$$\sqrt{1-x^3}\le x^2+x+1.$$
Возводим в квадрат:
$$(1-x^3)\le (x^2+x+1)^2.$$
После преобразований получаем:
$$1-x\le x^2+x+1,$$
$$x^2+2x\ge 0,$$
$$x(x+2)\ge 0.$$
$$x\le -2 \quad \text{или} \quad x\ge 0.$$
С учётом условия $$x>-1$$ получаем:
$$x\in [0;1].$$
2) Если $$x<-1$$, то $$1+x<0$$, и при умножении знак неравенства меняется:
$$\sqrt{1-x^3}-1\ge x+x^2.$$
Аналогично получаем:
$$x(x+2)\le 0.$$
С учётом $$x<-1$$ и области определения:
$$-2\le x<-1.$$
Объединяя результаты, получаем:
$$x\in [-2;-1)\cup [0;1].$$
$$\frac{4x^2-9}{\sqrt{3x^2-3}}\le \frac23x+1.$$
Область определения:
$$3x^2-3>0,$$
$$x^2>1,$$
$$x<-1 \quad \text{или} \quad x>1.$$
Преобразуем числитель и правую часть:
$$4x^2-9=(2x-3)(2x+3),$$
$$\frac23x+1=\frac{2x+3}{3}.$$
Тогда
$$\frac{(2x-3)(2x+3)}{\sqrt{3x^2-3}}\le \frac{2x+3}{3}.$$
Рассмотрим случаи.
1) Если $$2x+3\ge 0$$, то есть $$x\ge -\frac32$$, тогда после умножения на положительное число получаем:
$$2x-3\le \sqrt{\frac{x^2-1}{3}}.$$
Возводим в квадрат:
$$(2x-3)^2\le \frac{x^2-1}{3},$$
$$12x^2-36x+27\le x^2-1,$$
$$11x^2-36x+28\le 0.$$
$$D=36^2-4\cdot 11\cdot 28=64,$$
$$x_{1,2}=\frac{36\pm 8}{22}=\frac{14}{11},\ 2.$$
$$\frac{14}{11}\le x\le 2.$$
С учётом области определения и условия $$x\ge -\frac32$$:
$$x\in \left[\frac{14}{11};2\right].$$
2) Если $$2x+3<0$$, то есть $$x<-\frac32$$, тогда после преобразований получаем:
$$2x-3\ge \sqrt{\frac{x^2-1}{3}}.$$
Но правая часть неотрицательна, а левая при $$x<-\frac32$$ отрицательна, значит решений здесь нет.
Итак,
$$x\in \left[\frac{14}{11};2\right].$$