Упр.631 ГДЗ Колягин Ткачёва 10 класс (Алгебра)

Задача

1) vx < =2x 2) vx > 0.5x
3) vx > =2x-1
4) vx > =x^2

Подробный ответ

$$\sqrt{x}\le 2x$$
Область определения: $$x\ge 0$$.
При $$x=0$$ неравенство верно. При $$x>0$$ разделим на $$\sqrt{x}$$:
$$1\le 2\sqrt{x}$$
$$\sqrt{x}\ge \frac12$$
$$x\ge \frac14$$
С учётом ОДЗ получаем:
$$x\in \left[\frac14;+\infty\right)$$
$$\sqrt{x}>0{,}5x$$
Область определения: $$x\ge 0$$.
При $$x=0$$ неравенство не выполняется. При $$x>0$$ разделим на $$\sqrt{x}$$:
$$1>0{,}5\sqrt{x}$$
$$\sqrt{x}<2$$
$$x<4$$
С учётом ОДЗ:
$$x\in (0;4)$$
$$\sqrt{x}\ge 2x-1$$
Область определения: $$x\ge 0$$.
Рассмотрим точки пересечения графиков:
$$\sqrt{x}=2x-1$$
Положим $$t=\sqrt{x}$$, тогда $$x=t^2$$ и
$$t=2t^2-1$$
$$2t^2-t-1=0$$
$$\left(2t+1\right)\left(t-1\right)=0$$
$$t=1 \text{ или } t=-\frac12$$
Так как $$t=\sqrt{x}\ge 0$$, подходит только $$t=1$$, значит $$x=1$$.
Проверка на промежутках показывает, что неравенство выполняется при $$0\le x\le 1$$.
$$x\in [0;1]$$
$$\sqrt{x}\ge x^2$$
Область определения: $$x\ge 0$$.
При $$x=0$$ и $$x=1$$ неравенство выполняется.
При $$x>0$$ возведём обе части в квадрат:
$$x\ge x^4$$
$$x^4-x\le 0$$
$$x\left(x^3-1\right)\le 0$$
$$x\left(x-1\right)\left(x^2+x+1\right)\le 0$$
Так как $$x^2+x+1>0$$ при всех $$x$$, получаем:
$$x\left(x-1\right)\le 0$$
Отсюда:
$$x\in [0;1]$$