Упр.630 ГДЗ Колягин Ткачёва 10 класс (Алгебра)

630.
1) vx > =x
2) vx < x 3) vx > =2x-1
4) vx < =x-2

1. $$\sqrt{x}\ge x$$

   Область определения: $$x\ge 0$$.

   Положим $$t=\sqrt{x}$$, тогда $$t\ge 0$$ и $$x=t^2$$. Получаем:

   $$t\ge t^2$$

   $$t^2-t\le 0$$

   $$t(t-1)\le 0$$

   Отсюда $$t\in[0;1]$$, значит $$x=t^2\in[0;1]$$.

2. $$\sqrt{x}

   При $$x=0$$ неравенство неверно, а при $$x>0$$ положим $$t=\sqrt{x}$$. Тогда:

   $$t<t^2$$

   $$t^2-t>0$$

   $$t(t-1)>0$$

   Так как $$t\ge 0$$, получаем $$t>1$$, значит $$x>1$$.

3. $$\sqrt{x}\ge 2x-1$$

   Область определения: $$x\ge 0$$.

   Положим $$t=\sqrt{x}$$, тогда $$x=t^2$$. Имеем:

   $$t\ge 2t^2-1$$

   $$2t^2-t-1\le 0$$

   $$\left(2t+1\right)\left(t-1\right)\le 0$$

   С учётом $$t\ge 0$$ получаем $$t\in[0;1]$$, значит $$x\in[0;1]$$.

4. $$\sqrt{x}\le x-2$$

   Область определения: $$x\ge 0$$. Правая часть должна быть неотрицательной, значит $$x-2\ge 0$$, то есть $$x\ge 2$$.

   Положим $$t=\sqrt{x}$$, тогда $$x=t^2$$ и $$t\ge 0$$. Получаем:

   $$t\le t^2-2$$

   $$t^2-t-2\ge 0$$

   $$\left(t-2\right)\left(t+1\right)\ge 0$$

   С учётом $$t\ge 0$$ имеем $$t\ge 2$$, значит $$x\ge 4$$.

Ответ

1) $$[0;1]$$; 2) $$(1;+\infty)$$; 3) $$[0;1]$$; 4) $$[4;+\infty)$$.